Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que |llla & b & c d & e & f g & h & i|=5.
(a) A=[ccca & b & c 3 d & 3 e & 3 f g & h & i]
(b) B=[ccca & b & c 3 d-2 a & 3 e-2 b & 3 f-2 c g & h & i]
© C=[llld & e & f g & h & i a & b & c]
(d) D=[llla & d & g b & e & h c & f & i]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular os determinantes das matrizes A, B, C e D, sabendo que o determinante da matriz original é 5. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como o efeito de multiplicar uma linha por um número, combinar linhas e transpor a matriz.

Passo 2

Parte (a):
A matriz A tem a segunda linha multiplicada por 3. Sabemos que quando a gente multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado por esse número. Então:
|A| = 3 times |original| = 3 times 5 = 15

Passo 3

Parte (b):
Na matriz B, a segunda linha é |B| = 3 times |original| = 3 times 5 = 15 . Primeiro, multiplicar uma linha por 3 multiplicará o determinante por 3. Depois, subtrair 2 vezes a primeira linha não altera o determinante porque estamos apenas combinando linhas. Portanto:

Passo 4

Parte ©:
A matriz C tem as linhas rearranjadas: a primeira linha vira a segunda, a segunda vira a terceira e a terceira vira a primeira. Esse tipo de permutação é uma rotação das linhas e, para cada troca de linhas, o sinal do determinante muda. No caso, é uma rotação cíclica que não muda o sinal, então:
|C| = |original| = 5

Passo 5

Parte (d):
A matriz D é a transposta da matriz original, ou seja, as linhas viraram colunas. Uma propriedade dos determinantes é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. Então:
|D| = |original| = 5

Resposta

|A| = 15 |B| = 15 |C| = 5 |D| = 5

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