Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que .
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular os determinantes das matrizes A, B, C e D, sabendo que o determinante da matriz original é 5. Para isso, vamos usar algumas propriedades dos determinantes, como o efeito de multiplicar uma linha por um número, combinar linhas e transpor a matriz.

Passo 2

Parte (a):
A matriz A tem a segunda linha multiplicada por 3. Sabemos que quando a gente multiplica uma linha de uma matriz por um número, o determinante também é multiplicado por esse número. Então:

Passo 3

Parte (b):
Na matriz B, a segunda linha é . Primeiro, multiplicar uma linha por 3 multiplicará o determinante por 3. Depois, subtrair 2 vezes a primeira linha não altera o determinante porque estamos apenas combinando linhas. Portanto:

Passo 4

Parte ©:
A matriz C tem as linhas rearranjadas: a primeira linha vira a segunda, a segunda vira a terceira e a terceira vira a primeira. Esse tipo de permutação é uma rotação das linhas e, para cada troca de linhas, o sinal do determinante muda. No caso, é uma rotação cíclica que não muda o sinal, então:

Passo 5

Parte (d):
A matriz D é a transposta da matriz original, ou seja, as linhas viraram colunas. Uma propriedade dos determinantes é que o determinante da transposta é igual ao determinante da matriz original. Então:

Resposta

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Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique.
(a) Se , então .
(b) Se e , então .
© Se e , então .
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(e) Se é uma matriz identidade, então .
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a) 3 .
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