Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes. A pergunta pede para classificarmos cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificarmos. Vamos precisar entender algumas propriedades dos determinantes de matrizes.
Passo 2
(a) Se , então .
Essa afirmação é Falsa. A propriedade do determinante não funciona dessa maneira. Em geral, o determinante da soma de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes. Por exemplo, se tomarmos matrizes e como matrizes identidade, teremos:
A menos que , esses valores não serão iguais, o que mostra que a afirmação é falsa.
Passo 3
(b) Se e , então .
Essa afirmação é Verdadeira. Uma propriedade fundamental dos determinantes diz que, se você multiplica uma matriz por um escalar , o determinante resultante será vezes o determinante original, onde é a ordem da matriz. Isso ocorre porque cada linha (ou coluna) da matriz é multiplicada por , e o determinante é afetado multiplicando-se esses fatores.
Vamos verificar se essa afirmação é Verdadeira. Usando a propriedade que vimos no passo anterior:
Portanto, a afirmação está correta.
Passo 5
(d) Se é uma matriz triangular superior, então .
Essa afirmação é Verdadeira. Uma matriz triangular superior (ou inferior) tem todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal iguais a zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Passo 6
(e) Se é uma matriz identidade, então .
Essa afirmação é Verdadeira. A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições. Portanto, o produto dos elementos da diagonal é 1, e assim o determinante da matriz identidade é 1.