Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique.
(a) Se A, B in Mn times n, então det(A+B)=det(A)+det(B).
(b) Se A in Mn times n e alpha in R, então det(alpha A)=alpha^n det(A).
© Se A in M3 times 3 e det(A)=-2, então det(4 A)=-128.
(d) Se A in Mn times n é uma matriz triangular superior, então det(A)=a11 a22 cdots an n.
(e) Se A é uma matriz identidade, então det(A)=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de determinantes. A pergunta pede para classificarmos cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F) e justificarmos. Vamos precisar entender algumas propriedades dos determinantes de matrizes.

Passo 2

(a) Se det(I + I) = det(2I) = 2^n , então det(I) + det(I) = 1 + 1 = 2 .
Essa afirmação é Falsa. A propriedade do determinante não funciona dessa maneira. Em geral, o determinante da soma de duas matrizes não é igual à soma dos determinantes. Por exemplo, se tomarmos matrizes e como matrizes identidade, teremos:
A menos que , esses valores não serão iguais, o que mostra que a afirmação é falsa.

Passo 3

(b) Se e , então .
Essa afirmação é Verdadeira. Uma propriedade fundamental dos determinantes diz que, se você multiplica uma matriz por um escalar , o determinante resultante será vezes o determinante original, onde é a ordem da matriz. Isso ocorre porque cada linha (ou coluna) da matriz é multiplicada por , e o determinante é afetado multiplicando-se esses fatores.

Passo 4

© Se det(4A) = 4^3 det(A) = 64 times (-2) = -128 e , então .
Vamos verificar se essa afirmação é Verdadeira. Usando a propriedade que vimos no passo anterior:
Portanto, a afirmação está correta.

Passo 5

(d) Se é uma matriz triangular superior, então .
Essa afirmação é Verdadeira. Uma matriz triangular superior (ou inferior) tem todos os elementos abaixo (ou acima) da diagonal principal iguais a zero. O determinante de uma matriz triangular é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 6

(e) Se é uma matriz identidade, então .
Essa afirmação é Verdadeira. A matriz identidade tem 1’s na diagonal principal e 0’s em todas as outras posições. Portanto, o produto dos elementos da diagonal é 1, e assim o determinante da matriz identidade é 1.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) V
e) V

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