(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo é negativa é
a) 3 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo da forma e queremos encontrar o menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária desse número é negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender potências de números complexos e como calcular suas partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um número complexo na forma pode ser elevado a uma potência usando a fórmula de De Moivre:
Isso nos permite calcular a parte imaginária diretamente como .

Passo 3

No nosso caso, . Então, aplicando a fórmula de De Moivre, temos:
A parte imaginária é . Queremos que essa parte seja negativa:

Passo 4

Sabemos que a função seno é negativa nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico. Ou seja, quando o ângulo está entre e .
Então, queremos encontrar o menor inteiro positivo tal que:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade:
Dividindo todos os lados por :
Multiplicando por 8:
Portanto, deve ser um número inteiro entre 9 e 15.

Passo 6

O menor número inteiro positivo que satisfaz é .

Resposta

9

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que .
(a)
(b)
©
(d)
Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique.
(a) Se , então .
(b) Se e , então .
© Se e , então .
(d) Se é uma matriz triangular superior, então .
(e) Se é uma matriz identidade, então .
Encontre os valores de para os quais a matriz é inversível.
Mostre que para toda matriz .