(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo
é negativa é
a) 3 .
a) 3 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo da forma e queremos encontrar o menor número inteiro positivo
para o qual a parte imaginária desse número é negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender potências de números complexos e como calcular suas partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um número complexo na forma pode ser elevado a uma potência
usando a fórmula de De Moivre:
Isso nos permite calcular a parte imaginária diretamente como .
Passo 3
No nosso caso,
. Então, aplicando a fórmula de De Moivre, temos:
A parte imaginária é . Queremos que essa parte seja negativa:
Passo 4
Sabemos que a função seno é negativa nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico. Ou seja, quando o ângulo
está entre
e
.
Então, queremos encontrar o menor
inteiro positivo tal que:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade:
Dividindo todos os lados por
:
Multiplicando por 8:
Portanto,
deve ser um número inteiro entre 9 e 15.
Passo 6
O menor número inteiro positivo que satisfaz
é
.
Resposta
9