(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo é negativa é
a) 3 .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo da forma e queremos encontrar o menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária desse número é negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender potências de números complexos e como calcular suas partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, lembramos que um número complexo na forma pode ser elevado a uma potência usando a fórmula de De Moivre:
Isso nos permite calcular a parte imaginária diretamente como .
Passo 3
No nosso caso, . Então, aplicando a fórmula de De Moivre, temos:
A parte imaginária é . Queremos que essa parte seja negativa:
Passo 4
Sabemos que a função seno é negativa nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico. Ou seja, quando o ângulo está entre e .
Então, queremos encontrar o menor inteiro positivo tal que:
Passo 5
Vamos resolver a desigualdade:
Dividindo todos os lados por :
Multiplicando por 8:
Portanto, deve ser um número inteiro entre 9 e 15.