(UFRGS-2010) O menor número inteiro positivo n para o qual a parte imaginária do número complexo (cos pi8+i cdot sen pi8)^n é negativa é
a) 3 .

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um número complexo da forma e queremos encontrar o menor número inteiro positivo para o qual a parte imaginária desse número é negativa. Para resolver isso, vamos precisar entender potências de números complexos e como calcular suas partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, lembramos que um número complexo na forma pode ser elevado a uma potência (cos theta + i sen theta)^n = cos(ntheta) + i sen(ntheta) usando a fórmula de De Moivre:
Isso nos permite calcular a parte imaginária diretamente como .

Passo 3

No nosso caso, (cos pi8 + i sen pi8)^n = cos(n cdot pi8) + i sen(n cdot pi8) . Então, aplicando a fórmula de De Moivre, temos:
A parte imaginária é . Queremos que essa parte seja negativa:

Passo 4

Sabemos que a função seno é negativa nos quadrantes III e IV do círculo trigonométrico. Ou seja, quando o ângulo pi < n cdot pi8 < 2pi está entre e .
Então, queremos encontrar o menor inteiro positivo tal que:

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade:
pi < n cdot pi8 < 2pi
Dividindo todos os lados por 1 < n8 < 2 :
8 < n < 16
Multiplicando por 8:
Portanto, deve ser um número inteiro entre 9 e 15.

Passo 6

O menor número inteiro positivo que satisfaz é .

Resposta

9

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