Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: (g) * W=X in M2(R) / A X=X A, onde A=(ll1 & 0 1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial A = 1 & 0 1 & 1 que consiste nas matrizes de reais que satisfazem , onde é a matriz dada:
Então, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições de comutação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica X = a & b c & d de :
Onde são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular AX = 1 & 0 1 & 1 a & b c & d = 1 cdot a + 0 cdot c & 1 cdot b + 0 cdot d 1 cdot a + 1 cdot c & 1 cdot b + 1 cdot d = a & b a + c & b + d e XA = a & b c & d 1 & 0 1 & 1 = a cdot 1 + b cdot 1 & a cdot 0 + b cdot 1 c cdot 1 + d cdot 1 & c cdot 0 + d cdot 1 = a + b & b c + d & d para ver quais condições devem ser satisfeitas para que .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Para que a = a + b b = b a + c = c + d b + d = d , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos cada posição correspondente:
Vamos resolver essas equações:
  1. ) Essa equação já está satisfeita.
  2. (já sabemos isso)

Passo 5

Das equações, descobrimos que X = a & 0 c & a e . Portanto, as matrizes que satisfazem têm a forma:
Onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 6

Agora, vamos expressar W = a & 0 c & a g| a, c in R usando esses parâmetros:
Podemos ver que é um subespaço vetorial de com duas dimensões, pois temos dois parâmetros livres ( e ).

Passo 7

Para encontrar uma base para B1 = 1 & 0 0 & 1 , B2 = 0 & 0 1 & 0 , precisamos identificar matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço X = aB1 + cB2 = a 1 & 0 0 & 1 + c 0 & 0 1 & 0 = a & 0 c & a .
Podemos escolher:
Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e :

Resposta

A base de 1 & 0 0 & 1 e 0 & 0 1 & 0 é formada pelas matrizes
e a dimensão de é 2.

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