Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: , onde

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial que consiste nas matrizes de reais que satisfazem , onde é a matriz dada:
Então, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições de comutação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica de :
Onde são números reais que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos calcular e para ver quais condições devem ser satisfeitas para que .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos cada posição correspondente:
Vamos resolver essas equações:
  1. ) Essa equação já está satisfeita.
  2. (já sabemos isso)

Passo 5

Das equações, descobrimos que e . Portanto, as matrizes que satisfazem têm a forma:
Onde e podem ser quaisquer números reais.

Passo 6

Agora, vamos expressar usando esses parâmetros:
Podemos ver que é um subespaço vetorial de com duas dimensões, pois temos dois parâmetros livres ( e ).

Passo 7

Para encontrar uma base para , precisamos identificar matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço .
Podemos escolher:
Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e :

Resposta

A base de é formada pelas matrizes
e a dimensão de é 2.

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(PUC-MG) Escreva na forma a + bi, o produto dos trés números complexos:
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que . (d)
Classifique as afirmações abaixo em verdadeira (V) ou falsa (F). Justifique.
(a) Se , então .
(b) Se e , então .
© Se e , então .
(d) Se é uma matriz triangular superior, então .
(e) Se é uma matriz identidade, então .
Calcule os determinantes das matrizes abaixo sabendo que .
(a)
(b)
©
(d)