Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: , onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar uma base e a dimensão do subespaço vetorial que consiste nas matrizes de reais que satisfazem , onde é a matriz dada:
Então, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e condições de comutação de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma matriz genérica de :
Onde são números reais que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos calcular e para ver quais condições devem ser satisfeitas para que .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Para que , as matrizes resultantes devem ser iguais. Então, igualamos cada posição correspondente:
Vamos resolver essas equações:
) Essa equação já está satisfeita.
(já sabemos isso)
Passo 5
Das equações, descobrimos que e . Portanto, as matrizes que satisfazem têm a forma:
Onde e podem ser quaisquer números reais.
Passo 6
Agora, vamos expressar usando esses parâmetros:
Podemos ver que é um subespaço vetorial de com duas dimensões, pois temos dois parâmetros livres ( e ).
Passo 7
Para encontrar uma base para , precisamos identificar matrizes que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço .
Podemos escolher:
Qualquer matriz pode ser escrita como uma combinação linear de e :