Calcule os determinantes das matrizes:
(b) B=[cccc2 & 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & -2 & 1 -3 & 2 & 3 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante da matriz , que é uma matriz . O conteúdo aqui envolve determinantes de matrizes. Para resolver, vamos precisar usar métodos de expansão por cofatores ou simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo do determinante. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz B = 2 & 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & -2 & 1 -3 & 2 & 3 & 1 pode ser calculado usando a expansão por cofatores. Isso envolve escolher uma linha ou coluna e multiplicar cada elemento por seu respectivo cofator, somando os resultados.
Na nossa matriz :
Vamos escolher a primeira linha para facilitar os cálculos.

Passo 3

Agora, vamos calcular os cofatores para cada elemento da primeira linha. O cofator Cij = (-1)^i+j cdot Mij é dado por:
M11 = 0 & 1 & 1 2 & -2 & 1 2 & 3 & 1
onde C11 = (-1)^1+1 cdot M11 = 1 cdot M11 é o determinante da matriz menor que resulta da remoção da i-ésima linha e j-ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator da primeira linha:
  1. Elemento M12 = 3 & 1 & 1 -1 & -2 & 1 -3 & 3 & 1 :
C12 = (-1)^1+2 cdot M12 = -1 cdot M12
M13 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 -3 & 2 & 1
  1. Elemento C13 = (-1)^1+3 cdot M13 = -1 cdot M13 :
M14 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & -2 -3 & 2 & 3
C14 = (-1)^1+4 cdot M14 = 1 cdot M14
  1. Elemento :
  1. Elemento :

Passo 4

Agora, vamos calcular cada determinante das matrizes menores M11 = 0 & 1 & 1 2 & -2 & 1 2 & 3 & 1 :
  1. Calculando M11 = 0 cdot (-2 cdot 1 - 1 cdot 3) - 1 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1 cdot (2 cdot 3 - (-2) cdot 2) :
M11 = 0 cdot (-2 - 3) - 1 cdot (2 - 2) + 1 cdot (6 + 4)
Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores, vamos calcular:
M11 = 0 - 1 cdot 0 + 1 cdot 10 = 10
M12 = 3 & 1 & 1 -1 & -2 & 1 -3 & 3 & 1
M12 = 3 cdot (-2 cdot 1 - 1 cdot 3) - 1 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot (-3)) + 1 cdot (-1 cdot 3 - (-2) cdot (-3))
  1. Calculando M12 = 3 cdot (-2 - 3) - 1 cdot (-1 + 3) + 1 cdot (-3 - 6) :
M12 = 3 cdot (-5) - 1 cdot 2 + 1 cdot (-9) = -15 - 2 - 9 = -26
M13 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & 1 -3 & 2 & 1
M13 = 3 cdot (2 cdot 1 - 1 cdot 2) - 0 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot (-3)) + 1 cdot (-1 cdot 2 - 2 cdot (-3))
M13 = 3 cdot (2 - 2) - 0 cdot (-1 + 3) + 1 cdot (-2 + 6) = 3 cdot 0 - 0 + 1 cdot 4 = 4
  1. Calculando M14 = 3 & 0 & 1 -1 & 2 & -2 -3 & 2 & 3 :
M14 = 3 cdot (2 cdot 3 - (-2) cdot 2) - 0 cdot (-1 cdot 3 - (-2) cdot (-3)) + 1 cdot (-1 cdot 2 - 2 cdot (-3))
M14 = 3 cdot (6 + 4) - 0 cdot (-3 - 6) + 1 cdot (-2 + 6) = 3 cdot 10 - 0 + 1 cdot 4 = 30 + 4 = 34
  1. Calculando :

Passo 5

Agora que temos os determinantes das matrizes menores, vamos calcular os cofatores:
  1. Cofator
  2. Cofator
  3. Cofator
  4. Cofator

Passo 6

Finalmente, vamos calcular o determinante da matriz det(B) = a11 cdot C11 + a12 cdot C12 + a13 cdot C13 + a14 cdot C14 usando a expansão por cofatores:
det(B) = 2 cdot 10 + 1 cdot 26 + 2 cdot (-4) + 1 cdot 34
Substituindo os valores:
det(B) = 20 + 26 - 8 + 34
det(B) = 72

Resposta

O determinante da matriz é 72.

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