Supondo as matrizes
e
inversíveis, determine
em cada equação.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação
, e sabe que as matrizes
,
e
são inversíveis. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a matriz
que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar algumas propriedades de matrizes inversíveis e manipular a equação para isolar o
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação:
. Como
é uma matriz inversível, a gente pode multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
para simplificar. A inversa de uma matriz
é denotada por
, e ela tem a propriedade de que
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa de
à esquerda:
Isso simplifica para:
Como
é a matriz identidade, multiplicar qualquer matriz por
não muda a matriz. Então, temos:
Passo 4
Agora, queremos isolar o
. Sabemos que
também é inversível, então podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de
à esquerda:
Isso simplifica para:
E, novamente, como
não altera a matriz, temos:
Passo 5
Para encontrar
, precisamos tirar a transposta de ambos os lados da equação acima. A propriedade importante aqui é que a transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta dessa matriz, ou seja,
. Então, vamos transpor ambos os lados:
Como a transposta da transposta retorna à matriz original, temos:
Resposta
A matriz
que satisfaz a equação
é: