Supondo as matrizes A, B e C inversíveis, determine X em cada equação. C A X^T=C

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a equação , e sabe que as matrizes , e são inversíveis. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a matriz que satisfaz essa equação. Para isso, vamos usar algumas propriedades de matrizes inversíveis e manipular a equação para isolar o .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação: . Como é uma matriz inversível, a gente pode multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de para simplificar. A inversa de uma matriz é denotada por , e ela tem a propriedade de que , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pela matriz inversa de C^-1 (C A X^T) = C^-1 C à esquerda:
I A X^T = I
Isso simplifica para:
A X^T = I
Como é a matriz identidade, multiplicar qualquer matriz por não muda a matriz. Então, temos:

Passo 4

Agora, queremos isolar o A^-1 (A X^T) = A^-1 I . Sabemos que I X^T = A^-1 também é inversível, então podemos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X^T = A^-1 à esquerda:
Isso simplifica para:
E, novamente, como não altera a matriz, temos:

Passo 5

Para encontrar (X^T)^T = (A^-1)^T , precisamos tirar a transposta de ambos os lados da equação acima. A propriedade importante aqui é que a transposta da inversa de uma matriz é igual à inversa da transposta dessa matriz, ou seja, X = (A^-1)^T . Então, vamos transpor ambos os lados:
Como a transposta da transposta retorna à matriz original, temos:

Resposta

A matriz X = (A^-1)^T que satisfaz a equação é:

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