Sejam os pontos A=(1,2,0), B=(3,0,-3), C=(5,2,6) e D=(-2,0,0).
Encontre uma equação paramétrica do plano Pi determinado pelos pontos A, B e C;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma equação paramétrica do plano Pi que é determinado pelos pontos A=(1,2,0), B=(3,0,-3) e C=(5,2,6). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e planos no espaço tridimensional. Vamos precisar encontrar dois vetores que estão no plano e depois usar esses vetores para montar a equação paramétrica.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar dois vetores que estão no plano Pi. Podemos formar esses vetores subtraindo as coordenadas dos pontos dados. Vamos calcular os vetores AB e AC.
AB = B - A = (3-1, 0-2, -3-0) = (2, -2, -3)
AC = C - A = (5-1, 2-2, 6-0) = (4, 0, 6)

Passo 3

Agora que temos os vetores AB = (2, -2, -3) e AC = (4, 0, 6), vamos usá-los para construir a equação paramétrica do plano. A ideia é expressar qualquer ponto P no plano como uma combinação linear do ponto A e dos vetores AB e AC. A equação paramétrica fica assim:
x = xA + s cdot vABx + t cdot vACx y = yA + s cdot vABy + t cdot vACy z = zA + s cdot vABz + t cdot vACz
Onde s e t são parâmetros reais.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos:
x = 1 + s cdot 2 + t cdot 4 y = 2 + s cdot (-2) + t cdot 0 z = 0 + s cdot (-3) + t cdot 6
Simplificando:
x = 1 + 2s + 4t y = 2 - 2s z = -3s + 6t

Passo 5

Pronto! Essas são as equações paramétricas que descrevem todo o plano Pi determinado pelos pontos A, B e C. Variando os parâmetros s e t, a gente consegue alcançar qualquer ponto nesse plano.

Resposta

A equação paramétrica do plano Pi é:
x = 1 + 2s + 4t y = 2 - 2s z = -3s + 6t
Onde s e t são números reais.

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