Sejam os pontos A=(1,2,0), B=(3,0,-3), C=(5,2,6) e D=(-2,0,0).
Calcule a distância do ponto D ao plano Pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um problema onde temos quatro pontos no espaço: , , e . A gente precisa encontrar a distância do ponto até o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de geometria no espaço, como vetores, equação do plano e distância ponto-plano. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!

Passo 2

Primeiro, precisamos descobrir qual é o plano ax + by + cz + d = 0 . Como temos três pontos , e , podemos usar eles para definir o plano. A equação de um plano no espaço pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e dessa equação usando os pontos dados.

Passo 3

Para achar os coeficientes, vamos usar vetores. Vamos calcular dois vetores que estão no plano AB = B - A = (3-1, 0-2, -3-0) = (2, -2, -3) usando os pontos AC = C - A = (5-1, 2-2, 6-0) = (4, 0, 6) , e :

Passo 4

Com esses dois vetores, podemos achar um vetor normal ao plano n = AB times AC calculando o produto vetorial entre n = i & j & k 2 & -2 & -3 4 & 0 & 6 e n = i cdot (-2 times 6 - (-3) times 0) - j cdot (2 times 6 - (-3) times 4) + k cdot (2 times 0 - (-2) times 4) . O vetor normal é perpendicular ao plano.
n = i cdot (-12) - j cdot (12 + 12) + k cdot (0 + 8)
Vamos calcular isso:
n = (-12, -24, 8)
n = (-3, -6, 2)
Podemos simplificar dividindo por 4:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação do plano -3(x - 1) -6(y - 2) + 2(z - 0) = 0 . Sabemos que o plano passa pelo ponto -3x + 3 -6y + 12 + 2z = 0 , então substituímos na equação geral:
-3x -6y + 2z + 15 = 0
3x + 6y - 2z -15 = 0
Vamos simplificar:
3x + 6y - 2z = 15
Podemos multiplicar a equação por -1 para deixar os coeficientes positivos:
Então, a equação do plano é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a distância do ponto d = |ax1 + by1 + cz1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano 3x + 6y - 2z -15 = 0 . A fórmula para a distância de um ponto até o plano é:
Mas nossa equação do plano está em , então vamos reorganizar para a forma :
Aqui, , , e .

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula da distância:
d = |3(-2) + 6(0) -2(0) -15|raiz3^2 + 6^2 + (-2)^2
d = |-6 + 0 + 0 -15|raiz9 + 36 + 4
d = |-21|raiz49
d = 217
d = 3

Resposta

A distância do ponto até o plano é 3 unidades.

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