Sejam os pontos e .
Calcule a distância do ponto ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um problema onde temos quatro pontos no espaço: , , e . A gente precisa encontrar a distância do ponto até o plano .
Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de geometria no espaço, como vetores, equação do plano e distância ponto-plano. Não se preocupe, vou explicar cada passo direitinho!
Passo 2
Primeiro, precisamos descobrir qual é o plano . Como temos três pontos , e , podemos usar eles para definir o plano. A equação de um plano no espaço pode ser escrita como:
Nosso objetivo é encontrar os coeficientes , , e dessa equação usando os pontos dados.
Passo 3
Para achar os coeficientes, vamos usar vetores. Vamos calcular dois vetores que estão no plano usando os pontos , e :
Passo 4
Com esses dois vetores, podemos achar um vetor normal ao plano calculando o produto vetorial entre e . O vetor normal é perpendicular ao plano.
Vamos calcular isso:
n = (-3, -6, 2)
Podemos simplificar dividindo por 4:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação do plano -3(x - 1) -6(y - 2) + 2(z - 0) = 0 . Sabemos que o plano passa pelo ponto -3x + 3 -6y + 12 + 2z = 0 , então substituímos na equação geral:
-3x -6y + 2z + 15 = 0
3x + 6y - 2z -15 = 0
Vamos simplificar:
3x + 6y - 2z = 15
Podemos multiplicar a equação por -1 para deixar os coeficientes positivos:
Então, a equação do plano é:
Passo 6
Agora, vamos calcular a distância do ponto d = |ax1 + by1 + cz1 + d|raiza^2 + b^2 + c^2 até o plano 3x + 6y - 2z -15 = 0 . A fórmula para a distância de um ponto até o plano é:
Mas nossa equação do plano está em , então vamos reorganizar para a forma :