Calcule os determinantes das matrizes:
(d) D=[cccc5 & 3 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & -3 & -2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz que é uma matriz 4x4. Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e determinantes, especificamente a propriedade de matrizes blocadas. Não se preocupa se isso parecer complicado agora, vou explicar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, olha só a matriz D = 5 & 3 & 0 & 0 -1 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 1 0 & 0 & -3 & -2 :
Vemos que ela é uma matriz blocada, ou seja, ela está dividida em blocos menores que não interagem entre si. Nesse caso, temos dois blocos 2x2 na diagonal principal e zeros nas demais posições. Isso facilita bastante a nossa vida!

Passo 3

A propriedade que vamos usar aqui é: O determinante de uma matriz blocada diagonal é igual ao produto dos determinantes dos blocos. Ou seja,
det(D) = det( 5 & 3 -1 & 2 ) times det( 4 & 1 -3 & -2 )
Então, vamos chamar esses blocos de A = 5 & 3 -1 & 2 , B = 4 & 1 -3 & -2 e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de cada bloco. Para uma matriz 2x2 qualquer:
det( a & b c & d ) = ad - bc
Calculando det(A) = (5)(2) - (-1)(3) = 10 + 3 = 13 :
det(B) = (4)(-2) - (-3)(1) = -8 + 3 = -5
Calculando :

Passo 5

Finalmente, multiplicamos os determinantes dos blocos para encontrar o determinante de det(D) = det(A) times det(B) = 13 times (-5) = -65 :

Resposta

O determinante da matriz é .

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