Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x1, x2) de números reais. Determine se V é um espaço vetorial se a soma ((b) (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2), a(x1, x2)= (a x1, 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto V, que contém todos os pares ordenados de números reais (x1, x2), é um espaço vetorial. Para isso, a gente vai precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles se aplicam a V com as operações de soma e multiplicação escalar dadas:
  • Soma: (x1, x2)+(y1, y2)=(x1+y1, x2+y2)
  • Multiplicação escalar: a(x1, x2)=(a x1, 0)

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para V ser um espaço vetorial, ela precisa satisfazer alguns axiomas, como:
  1. Fechamento na soma: A soma de dois vetores em V também está em V.
  2. Fechamento na multiplicação escalar: Multiplicar um vetor de V por um escalar resulta em outro vetor de V.
  3. Comutatividade da soma: u + v = v + u.
  4. Associatividade da soma: (u + v) + w = u + (v + w).
  5. Existência do elemento neutro (zero): Existe um vetor 0 tal que v + 0 = v.
  6. Existência dos inversos aditivos: Para todo vetor v, existe -v tal que v + (-v) = 0.
  7. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial: a(u + v) = au + av.
  8. Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: (a + b)v = av + bv.
  9. Associatividade da multiplicação escalar: a(bv) = (ab)v.
  10. Multiplicação escalar por 1: 1v = v.
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto V com as operações dadas.

Passo 3

Fechamento na soma: A soma de dois pares ordenados reais é outro par ordenado real. Então, se (x1, x2) e (y1, y2) estão em V, então (x1+y1, x2+y2) também está em V. Isso satisfaz esse axioma.

Passo 4

Fechamento na multiplicação escalar: Multiplicando um vetor (x1, x2) por um escalar a, obtemos (a x1, 0). Isso está em V porque ainda é um par ordenado de números reais. Então, esse axioma também é satisfeito.

Passo 5

Comutatividade da soma: Como a soma é definida componente a componente, (x1+y1, x2+y2) = (y1+x1, y2+x2). Portanto, a soma é comutativa.

Passo 6

Associatividade da soma: Assim como na comutatividade, a soma associativa funciona componente a componente:
((x1, x2)+(y1, y2))+(z1, z2) = (x1+y1+z1, x2+y2+z2)
Isso é igual a:
(x1, x2)+((y1, y2)+(z1, z2))
Logo, a soma é associativa.

Passo 7

Existência do elemento neutro (zero): O vetor zero em V seria (0, 0). Somando qualquer vetor (x1, x2) a (0, 0), temos:
(x1+0, x2+0) = (x1, x2)
Então, o elemento neutro existe e é (0, 0).

Passo 8

Existência dos inversos aditivos: Para qualquer vetor (x1, x2), o inverso aditivo seria (-x1, -x2), pois:
(x1, x2) + (-x1, -x2) = (0, 0)
Portanto, os inversos aditivos existem.

Passo 9

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial: Vamos verificar se a(u + v) = au + av.
Seja u = (x1, x2) e v = (y1, y2).
Calculando o lado esquerdo:
a(u + v) = a(x1+y1, x2+y2) = (a(x1+y1), 0)
Calculando o lado direito:
au + av = (a x1, 0) + (a y1, 0) = (a x1 + a y1, 0 + 0) = (a(x1+y1), 0)
Nesse caso, a(u + v) = au + av. Então, esse axioma é satisfeito.

Passo 10

Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: Vamos verificar se (a + b)v = av + bv.
Seja v = (x1, x2).
Calculando o lado esquerdo:
(a + b)v = ((a + b)x1, 0)
Calculando o lado direito:
av + bv = (a x1, 0) + (b x1, 0) = (a x1 + b x1, 0 + 0) = ((a + b)x1, 0)
Aqui, (a + b)v = av + bv. Então, esse axioma também é satisfeito.

Passo 11

Associatividade da multiplicação escalar: Vamos verificar se a(bv) = (ab)v.
Seja v = (x1, x2).
Calculando o lado esquerdo:
a(bv) = a(b x1, 0) = (a(b x1), 0) = (ab x1, 0)
Calculando o lado direito:
(ab)v = (ab x1, 0)
Então, a(bv) = (ab)v. Associatividade da multiplicação escalar satisfeita.

Passo 12

Multiplicação escalar por 1: Vamos verificar se 1v = v.
Seja v = (x1, x2).
Calculando:
1v = (1 cdot x1, 0) = (x1, 0)
Comparando com v = (x1, x2), vemos que 1v neq v a menos que x2 = 0.
Isso significa que o axiom de multiplicação escalar por 1 não é satisfeito para todos os vetores em V.

Resposta

V não é um espaço vetorial, porque a multiplicação escalar definida não preserva todos os axiomas necessários, especificamente 1v neq v para vetores com x2 neq 0.

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