Seja
o conjunto de todos os pares ordenados
de números reais. Determine se
é um espaço vetorial se a soma ((b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se o conjunto
, que contém todos os pares ordenados de números reais
, é um espaço vetorial. Para isso, a gente vai precisar conhecer os axiomas que definem um espaço vetorial e ver se eles se aplicam a
com as operações de soma e multiplicação escalar dadas:
- Soma:
- Multiplicação escalar:
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para
ser um espaço vetorial, ela precisa satisfazer alguns axiomas, como:
- Fechamento na soma: A soma de dois vetores em
também está em . - Fechamento na multiplicação escalar: Multiplicar um vetor de
por um escalar resulta em outro vetor de . - Comutatividade da soma:
. - Associatividade da soma:
. - Existência do elemento neutro (zero): Existe um vetor
tal que . - Existência dos inversos aditivos: Para todo vetor
, existe tal que . - Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial:
. - Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares:
. - Associatividade da multiplicação escalar:
. - Multiplicação escalar por 1:
.
Vamos verificar cada um desses axiomas para o conjunto
com as operações dadas.
Passo 3
Fechamento na soma: A soma de dois pares ordenados reais é outro par ordenado real. Então, se
e
estão em
, então
também está em
. Isso satisfaz esse axioma.
Passo 4
Fechamento na multiplicação escalar: Multiplicando um vetor
por um escalar
, obtemos
. Isso está em
porque ainda é um par ordenado de números reais. Então, esse axioma também é satisfeito.
Passo 5
Comutatividade da soma: Como a soma é definida componente a componente,
. Portanto, a soma é comutativa.
Passo 6
Associatividade da soma: Assim como na comutatividade, a soma associativa funciona componente a componente:
Isso é igual a:
Logo, a soma é associativa.
Passo 7
Existência do elemento neutro (zero): O vetor zero em
seria
. Somando qualquer vetor
a
, temos:
Então, o elemento neutro existe e é
Passo 8
Existência dos inversos aditivos: Para qualquer vetor
, o inverso aditivo seria
, pois:
Portanto, os inversos aditivos existem.
Passo 9
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma vetorial: Vamos verificar se
.
Seja
e
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Nesse caso,
. Então, esse axioma é satisfeito.
Passo 10
Distributividade da multiplicação escalar em relação à soma de escalares: Vamos verificar se
.
Seja
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Aqui,
. Então, esse axioma também é satisfeito.
Passo 11
Associatividade da multiplicação escalar: Vamos verificar se
.
Seja
.
Calculando o lado esquerdo:
Calculando o lado direito:
Então,
. Associatividade da multiplicação escalar satisfeita.
Passo 12
Multiplicação escalar por 1: Vamos verificar se
.
Seja
.
Calculando:
Comparando com
, vemos que
a menos que
.
Isso significa que o axiom de multiplicação escalar por 1 não é satisfeito para todos os vetores em
.