Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes quadradas
e
de ordem
e pede para verificarmos se a proposição
é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades do determinante de matrizes, especialmente relacionadas a multiplicação de matrizes por escalares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (ou complexo, dependendo do contexto). Ele tem várias propriedades importantes, e uma delas está relacionada à multiplicação da matriz por um escalar.
Quando multiplicamos uma matriz
por um escalar
, o determinante da nova matriz
é igual a
, onde
é a ordem da matriz. Essa é uma propriedade fundamental do determinante.
Passo 3
No nosso caso, estamos multiplicando a matriz
por
, ou seja, temos
. Aplicando a propriedade que mencionamos, temos:
Isso significa que o determinante de
depende se
é par ou ímpar.
Passo 4
Vamos analisar os dois cenários:
- Se
for par: , então . - Se
for ímpar: , então .
Passo 5
A proposição que precisamos verificar é
. Observando os cenários acima:
- Quando
é ímpar, a proposição é verdadeira. - Quando
é par, a proposição é falsa porque , não .
Resposta
A proposição
é falsa quando a ordem
da matriz é par e verdadeira quando
é ímpar. Portanto, de forma geral, a afirmação não é sempre verdadeira.