Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n >= 2. Determine se as seguintes proposições são V ou F, justificando sua resposta.
© det(-A)=-det A

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá duas matrizes quadradas e de ordem e pede para verificarmos se a proposição é verdadeira ou falsa. Para isso, vamos precisar entender algumas propriedades do determinante de matrizes, especialmente relacionadas a multiplicação de matrizes por escalares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que o determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um número real (ou complexo, dependendo do contexto). Ele tem várias propriedades importantes, e uma delas está relacionada à multiplicação da matriz por um escalar.
Quando multiplicamos uma matriz por um escalar , o determinante da nova matriz é igual a , onde é a ordem da matriz. Essa é uma propriedade fundamental do determinante.

Passo 3

No nosso caso, estamos multiplicando a matriz det(-A) = (-1)^n det A por , ou seja, temos . Aplicando a propriedade que mencionamos, temos:
Isso significa que o determinante de depende se é par ou ímpar.

Passo 4

Vamos analisar os dois cenários:
  1. Se for par: , então .
  2. Se for ímpar: , então .

Passo 5

A proposição que precisamos verificar é . Observando os cenários acima:
  • Quando é ímpar, a proposição é verdadeira.
  • Quando é par, a proposição é falsa porque , não .

Resposta

A proposição é falsa quando a ordem da matriz é par e verdadeira quando é ímpar. Portanto, de forma geral, a afirmação não é sempre verdadeira.

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