Mostre que: O vetor
é combinação linear dos vetores
e
;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um vetor
que pertence ao espaço de polinômios de grau 2, denotado por
. Queremos mostrar que esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
,
e
. Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Uma combinação linear de vetores significa que podemos encontrar coeficientes (números reais) que, multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor que queremos. Ou seja, queremos encontrar números
,
e
tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:
Passo 3
Vamos expandir a expressão do lado direito para facilitar a comparação com o lado esquerdo:
Agora, organizamos os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, podemos comparar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação
.
Para os termos constantes:
Para os termos com
:
Para os termos com
:
Substituindo os valores de
e
encontrados:
Resposta
Portanto, encontramos que:
Isso mostra que o vetor
é uma combinação linear dos vetores
,
e
.