Mostre que: O vetor v=2+3 t in P2(t, R) é combinação linear dos vetores v1=t+2 t^2, v2=1+t^2 e v3=2 t^2;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um vetor que pertence ao espaço de polinômios de grau 2, denotado por . Queremos mostrar que esse vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores , e . Para isso, vamos precisar utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Uma combinação linear de vetores significa que podemos encontrar coeficientes (números reais) que, multiplicados pelos vetores dados e somados, resultem no vetor que queremos. Ou seja, queremos encontrar números v = a v1 + b v2 + c v3 , 2 + 3t = a(t + 2t^2) + b(1 + t^2) + c(2t^2) e tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:

Passo 3

Vamos expandir a expressão do lado direito para facilitar a comparação com o lado esquerdo:
a(t + 2t^2) + b(1 + t^2) + c(2t^2) = a t + 2a t^2 + b + b t^2 + 2c t^2
Agora, organizamos os termos semelhantes:
= (a t) + (b) + (2a t^2 + b t^2 + 2c t^2) = a t + b + (2a + b + 2c)t^2

Passo 4

Agora, podemos comparar os coeficientes dos termos semelhantes dos dois lados da equação b = 2 .
Para os termos constantes:
a = 3
Para os termos com 2a + b + 2c = 0 :
2(3) + 2 + 2c = 0 Rightarrow 6 + 2 + 2c = 0 Rightarrow 8 + 2c = 0 Rightarrow 2c = -8 Rightarrow c = -4
Para os termos com :
Substituindo os valores de e encontrados:

Resposta

Portanto, encontramos que:
v = 3,v1 + 2,v2 - 4,v3
Isso mostra que o vetor é uma combinação linear dos vetores , e .

Exercícios relacionados