Sejam u, v e w vetores de um espaço V. Se u, v, w é um conjunto LI, mostre que os vetores u-v, v-w e w-u formam um conjunto L.D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores em um espaço vetorial e diz que esses vetores são linearmente independentes (LI). Queremos mostrar que os vetores , e formam um conjunto linearmente dependente (LD).
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dependência linear. Independentemente linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Já dependência linear significa exatamente o contrário: pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar os vetores que queremos testar:
a = u - v
b = v - w
c = w - u
Queremos verificar se esses vetores são linearmente dependentes, ou seja, se existem escalares alpha a + beta b + gamma c = 0 , não todos zero, tais que:
alpha (u - v) + beta (v - w) + gamma (w - u) = 0
Substituindo :

Passo 3

Vamos distribuir os escalares:
alpha u - alpha v + beta v - beta w + gamma w - gamma u = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(alpha - gamma) u + (-alpha + beta) v + (-beta + gamma) w = 0
Para essa equação ser verdadeira, os coeficientes de alpha - gamma = 0 -alpha + beta = 0 -beta + gamma = 0 , e devem ser zero:

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da primeira equação: alpha = beta = gamma
  2. Da segunda equação:
  3. Da terceira equação:
Como e , temos que todos os três escalares são iguais:

Passo 5

Agora, escolhemos um valor não trivial para esses escalares. Por exemplo, vamos definir alpha = beta = gamma = 1 . Então:
1 cdot (u - v) + 1 cdot (v - w) + 1 cdot (w - u) = 0
Substituindo de volta na combinação linear:
(u - v) + (v - w) + (w - u) = u - v + v - w + w - u = 0
Vamos verificar:

Resposta

Portanto, os vetores , e formam um conjunto linearmente dependente.

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