Sejam e vetores de um espaço . Se é um conjunto LI, mostre que os vetores , e formam um conjunto L.D.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá três vetores em um espaço vetorial e diz que esses vetores são linearmente independentes (LI). Queremos mostrar que os vetores , e formam um conjunto linearmente dependente (LD).
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de independência linear e dependência linear. Independentemente linear significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como combinação linear dos outros. Já dependência linear significa exatamente o contrário: pelo menos um vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos outros.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar os vetores que queremos testar:
Queremos verificar se esses vetores são linearmente dependentes, ou seja, se existem escalares , não todos zero, tais que:
Substituindo :
Passo 3
Vamos distribuir os escalares:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Para essa equação ser verdadeira, os coeficientes de , e devem ser zero:
Passo 4
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
Da primeira equação: alpha = beta = gamma
Da segunda equação: ⇒
Da terceira equação: ⇒
Como e , temos que todos os três escalares são iguais:
Passo 5
Agora, escolhemos um valor não trivial para esses escalares. Por exemplo, vamos definir alpha = beta = gamma = 1 . Então:
1 cdot (u - v) + 1 cdot (v - w) + 1 cdot (w - u) = 0
Substituindo de volta na combinação linear:
(u - v) + (v - w) + (w - u) = u - v + v - w + w - u = 0
Vamos verificar:
Resposta
Portanto, os vetores , e formam um conjunto linearmente dependente.