Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. Temos uma matriz de ordem 5 e a gente precisa calcular o determinante dela usando a decomposição por menores de Laplace. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna, quebrar a matriz em menores (submatrizes menores) e calcular o determinante passo a passo. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra de Laplace e calcular determinantes de matrizes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual linha ou coluna usar para facilitar os cálculos. Se a gente der uma olhada na matriz B = 1 & 1 & 0 & 1 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 & 1 :
A segunda linha tem três zeros, o que deixa os cálculos mais simples porque os termos com zero não vão contribuir para o determinante. Então, vamos expandir pelo segundo linha.
Passo 3
A regra de Laplace para expansão por uma linha diz que o determinante é a soma dos elementos da linha multiplicados pelos seus cofatores correspondentes. Para a segunda linha, temos:
Onde é a submatriz obtida removendo a segunda linha e a segunda coluna de . Assim, temos:
Passo 6
Agora, precisamos calcular o determinante de det(M22) = b12C12 + b22C22 + b32C32 + b42C42 , que é uma matriz 4x4. Vamos de novo usar a regra de Laplace. Olhando para b12 = 0, b22 = 0, b32 = 0, b42 = 1 , a segunda coluna tem três zeros, então vamos expandir por essa coluna para simplificar:
det(M22) = 1 times C42
Observando os elementos:
Então, só o último termo contribui:
Passo 7
Vamos calcular o cofator C42 = (-1)^4+2 det(M42) :
M42 = 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1
Onde é a submatriz removendo a quarta linha e a segunda coluna de :
Passo 8
Agora, calculamos o determinante de det(M42) = 1 times (0 times 1 - 1 times 0) - 1 times (1 times 1 - 1 times 0) + 1 times (1 times 0 - 0 times 1) = 0 - 1 + 0 = -1 :
C42 = (-1)^6 times (-1) = 1 times (-1) = -1
Então,
det(M22) = 1 times (-1) = -1
E, portanto,
Passo 9
Voltando ao cofator C22 = (-1)^4 times (-1) = 1 times (-1) = -1 :
Passo 10
Finalmente, calculamos o determinante de det(B) = b22 times C22 = 1 times (-1) = -1 :