Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta quer. Temos uma matriz de ordem 5 e a gente precisa calcular o determinante dela usando a decomposição por menores de Laplace. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna, quebrar a matriz em menores (submatrizes menores) e calcular o determinante passo a passo. Para isso, vamos precisar saber como aplicar a regra de Laplace e calcular determinantes de matrizes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual linha ou coluna usar para facilitar os cálculos. Se a gente der uma olhada na matriz :
A segunda linha tem três zeros, o que deixa os cálculos mais simples porque os termos com zero não vão contribuir para o determinante. Então, vamos expandir pelo segundo linha.

Passo 3

A regra de Laplace para expansão por uma linha diz que o determinante é a soma dos elementos da linha multiplicados pelos seus cofatores correspondentes. Para a segunda linha, temos:
Aqui, são os elementos da segunda linha e são os cofatores.

Passo 4

Agora, vamos identificar os elementos não nulos da segunda linha:
Como só é diferente de zero, o determinante simplifica para:

Passo 5

Vamos calcular o cofator . O cofator é dado por:
Onde é a submatriz obtida removendo a segunda linha e a segunda coluna de . Assim, temos:

Passo 6

Agora, precisamos calcular o determinante de , que é uma matriz 4x4. Vamos de novo usar a regra de Laplace. Olhando para , a segunda coluna tem três zeros, então vamos expandir por essa coluna para simplificar:
Observando os elementos:
Então, só o último termo contribui:

Passo 7

Vamos calcular o cofator :
Onde é a submatriz removendo a quarta linha e a segunda coluna de :

Passo 8

Agora, calculamos o determinante de :
Então,
E, portanto,

Passo 9

Voltando ao cofator :

Passo 10

Finalmente, calculamos o determinante de :

Resposta

O determinante da matriz é:

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.
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e ;