Sabendo que , calcular:
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá o valor do produto misto de três vetores, ou seja, . Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto vetorial e produto escalar, que são operações básicas em álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, como , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
Já o produto escalar, representado por , dá um número que é o produto das magnitudes dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Ele mede o quanto dois vetores estão “alinhados”.

Passo 3

Agora, precisamos usar a propriedade do produto misto. O produto misto é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores ou, equivalente, ao produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Ou seja:
No nosso caso, temos , então:

Passo 4

Agora, vamos analisar o que precisamos calcular: . Observamos que:
Isso porque o produto vetorial não é comutativo e troca de ordem inverte o sinal.

Passo 5

Então, podemos reescrever a expressão que queremos calcular:

Passo 6

Sabemos que o produto misto também pode ser escrito como:
Portanto:

Passo 7

Substituindo de volta na nossa expressão:

Resposta

O valor de é 5.

Exercícios relacionados

Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:
Verdadeiro ou falso?
(b)
Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
e ;
(a) Obtenha equações de nas formas vetoriais, paramétricas e simétricas.