Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá o valor do produto misto de três vetores, ou seja, . Nosso objetivo é calcular . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre produto vetorial e produto escalar, que são operações básicas em álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores, como , resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A magnitude desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por e .
Já o produto escalar, representado por , dá um número que é o produto das magnitudes dos dois vetores e o cosseno do ângulo entre eles. Ele mede o quanto dois vetores estão “alinhados”.
Passo 3
Agora, precisamos usar a propriedade do produto misto. O produto misto é igual ao determinante formado pelas componentes dos vetores ou, equivalente, ao produto escalar de um vetor com o produto vetorial dos outros dois. Ou seja:
No nosso caso, temos , então:
Passo 4
Agora, vamos analisar o que precisamos calcular: . Observamos que:
Isso porque o produto vetorial não é comutativo e troca de ordem inverte o sinal.
Passo 5
Então, podemos reescrever a expressão que queremos calcular:
Passo 6
Sabemos que o produto misto também pode ser escrito como: