Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas:
r:ly=-2 x-1 z=x+2 e s: x-12=y3=z+1-3;

Passo 1

Então, a gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Além disso, queremos saber qual é a distância entre elas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e fórmulas para verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar as duas retas na forma paramétrica, que facilita muito na hora de fazer cálculos. A reta r: y = -2x - 1 z = x + 2 já está parcialmente na forma paramétrica:
x = t y = -2t - 1 z = t + 2
Podemos escolher r(t) = (t, -2t - 1, t + 2) como parâmetro. Assim, temos:
Então, a equação paramétrica da reta fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para a reta x - 12 = y3 = z + 1-3 . A equação dada é:
x = 2lambda + 1 y = 3lambda z = -3lambda - 1
Vamos chamar esse valor comum de s(lambda) = (2lambda + 1, 3lambda, -3lambda - 1) . Assim, temos:
Então, a equação paramétrica da reta fica:

Passo 4

Para determinar a posição relativa das retas vr = (1, -2, 1) e vs = (2, 3, -3) , precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos comparar os vetores diretores de cada reta.
O vetor diretor da reta é:
E o vetor diretor da reta é:

Passo 5

Vamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas ou coincidentes. Se não, elas se cruzam ou são inclinadas.
Para ver se 21 = 2, 3-2 = -1,5, -31 = -3 e são múltiplos, comparamos as componentes:
Como não são todas iguais, os vetores diretores não são múltiplos. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 6

Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam. Para isso, precisamos encontrar valores de t = 2lambda + 1 -2t - 1 = 3lambda t + 2 = -3lambda - 1 e que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas simultaneamente.
Igualando as componentes:
Vamos resolver esse sistema de equações.

Passo 7

Da primeira equação:
t = 2lambda + 1 (1)
Substituindo -2(2lambda + 1) - 1 = 3lambda -4lambda - 2 - 1 = 3lambda -4lambda -3 = 3lambda -7lambda = 3 lambda = -37 na segunda equação:

Passo 8

Agora, substituindo t = 2(-37) + 1 = -67 + 1 = 17 na equação (1):
t + 2 = 17 + 2 = 157
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
-3lambda -1 = -3(-37) -1 = 97 -1 = 27
E:
Como , não há solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Portanto, as retas não se cruzam.

Passo 9

Como as retas não são paralelas e nem se cruzam, elas são retas inclinadas. Agora, vamos calcular a distância entre elas. Para isso, usamos a fórmula da distância entre duas retas inclinadas no espaço:
d = |(r0s0) cdot (vr times vs)||vr times vs|
Onde é o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .

Passo 10

Escolhemos pontos nas duas retas. Por simplicidade, vamos pegar r(0) = (0, -1, 2) na reta s(0) = (1, 0, -1) :
r0s0 = s(0) - r(0) = (1 - 0, 0 - (-1), -1 - 2) = (1, 1, -3)
E na reta :
Então, o vetor é:

Passo 11

Agora, calculamos o produto vetorial vr = (1, -2, 1) vs = (2, 3, -3) vr times vs = i & j & k 1 & -2 & 1 2 & 3 & -3 = i((-2)(-3) - (1)(3)) - j((1)(-3) - (1)(2)) + k((1)(3) - (-2)(2)) = i(6 - 3) - j(-3 - 2) + k(3 + 4) = i(3) - j(-5) + k(7) = (3, 5, 7) :

Passo 12

Agora, calculamos o produto escalar r0s0 = (1, 1, -3) vr times vs = (3, 5, 7) r0s0 cdot (vr times vs) = 1 cdot 3 + 1 cdot 5 + (-3) cdot 7 = 3 + 5 - 21 = -13 |r0s0 cdot (vr times vs)| = | -13 | = 13 :

Passo 13

Agora, calculamos a magnitude do produto vetorial |vr times vs| = raiz3^2 + 5^2 + 7^2 = raiz9 + 25 + 49 = raiz83 :

Passo 14

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 13raiz83 approx 139.11 approx 1.43

Resposta

A distância entre as retas e é aproximadamente unidades.

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