Determinar a posição relativa e calcular a distância entre as retas: e ;
Passo 1
Então, a gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra. Além disso, queremos saber qual é a distância entre elas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações paramétricas de retas e fórmulas para verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar as duas retas na forma paramétrica, que facilita muito na hora de fazer cálculos. A reta já está parcialmente na forma paramétrica:
Podemos escolher como parâmetro. Assim, temos:
Então, a equação paramétrica da reta fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para a reta . A equação dada é:
Vamos chamar esse valor comum de . Assim, temos:
Então, a equação paramétrica da reta fica:
Passo 4
Para determinar a posição relativa das retas e , precisamos verificar se elas são paralelas, coincidentes ou se se cruzam em algum ponto. Para isso, vamos comparar os vetores diretores de cada reta.
O vetor diretor da reta é:
E o vetor diretor da reta é:
Passo 5
Vamos verificar se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Se forem, as retas são paralelas ou coincidentes. Se não, elas se cruzam ou são inclinadas.
Para ver se e são múltiplos, comparamos as componentes:
Como não são todas iguais, os vetores diretores não são múltiplos. Portanto, as retas não são paralelas.
Passo 6
Como as retas não são paralelas, vamos verificar se elas se cruzam. Para isso, precisamos encontrar valores de e que satisfaçam as equações paramétricas de ambas as retas simultaneamente.
Igualando as componentes:
Vamos resolver esse sistema de equações.
Passo 7
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Passo 8
Agora, substituindo na equação (1):
Vamos verificar se esses valores satisfazem a terceira equação:
E:
Como , não há solução que satisfaça todas as equações ao mesmo tempo. Portanto, as retas não se cruzam.
Passo 9
Como as retas não são paralelas e nem se cruzam, elas são retas inclinadas. Agora, vamos calcular a distância entre elas. Para isso, usamos a fórmula da distância entre duas retas inclinadas no espaço:
Onde é o vetor que liga um ponto da reta a um ponto da reta .
Passo 10
Escolhemos pontos nas duas retas. Por simplicidade, vamos pegar na reta :
E na reta :
Então, o vetor é:
Passo 11
Agora, calculamos o produto vetorial :
Passo 12
Agora, calculamos o produto escalar :
Passo 13
Agora, calculamos a magnitude do produto vetorial :
Passo 14
Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Resposta
A distância entre as retas e é aproximadamente unidades.