Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando a decomposição por menores de Laplace, que é uma técnica para encontrar determinantes expandindo por uma linha ou coluna. Para isso, vamos precisar entender como funciona a expansão de Laplace e aplicar isso passo a passo na nossa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
A ideia é escolher uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos. Observando a segunda linha, vemos que ela tem muitos zeros:
Isso vai simplificar bastante a gente, porque na expansão de Laplace, os termos com zero são eliminados.

Passo 3

A fórmula da expansão de Laplace para o determinante ao longo da segunda linha é:
Onde:
  • é o elemento da segunda linha e -ésima coluna.
  • é o menor correspondente, que é o determinante da matriz que sobra depois de remover a segunda linha e a -ésima coluna.
Como a segunda linha tem muitos zeros, só precisamos considerar o termo onde não é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos calcular o termo :
Então, o determinante de é igual a .

Passo 5

Agora, vamos encontrar o menor . Para isso, removemos a segunda linha e a segunda coluna de :
Então, precisamos calcular o determinante dessa matriz 4x4.

Passo 6

Vamos novamente usar a decomposição por menores de Laplace para essa matriz 4x4. Escolhemos uma linha ou coluna com mais zeros. Observando a segunda linha:
Novamente, há muitos zeros, facilitando a expansão.

Passo 7

Aplicando a fórmula de Laplace para o determinante dessa matriz 4x4:
Onde são os elementos da segunda linha e são os menores correspondentes.
Como somente é diferente de zero, temos:
Portanto, .

Passo 8

Agora, vamos encontrar o menor removendo a segunda linha e a quarta coluna da matriz :
Precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 9

Para a matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus:
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 10

Voltando aos passos anteriores, temos:
E, como:

Resposta

O determinante da matriz é 0.

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