Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz usando a decomposição por menores de Laplace, que é uma técnica para encontrar determinantes expandindo por uma linha ou coluna. Para isso, vamos precisar entender como funciona a expansão de Laplace e aplicar isso passo a passo na nossa matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz :
A ideia é escolher uma linha ou coluna com mais zeros para facilitar os cálculos. Observando a segunda linha, vemos que ela tem muitos zeros:
Isso vai simplificar bastante a gente, porque na expansão de Laplace, os termos com zero são eliminados.
Passo 3
A fórmula da expansão de Laplace para o determinante ao longo da segunda linha é:
Onde:
é o elemento da segunda linha e -ésima coluna.
é o menor correspondente, que é o determinante da matriz que sobra depois de remover a segunda linha e a -ésima coluna.
Como a segunda linha tem muitos zeros, só precisamos considerar o termo onde não é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos calcular o termo :
Então, o determinante de é igual a .
Passo 5
Agora, vamos encontrar o menor . Para isso, removemos a segunda linha e a segunda coluna de :
Então, precisamos calcular o determinante dessa matriz 4x4.
Passo 6
Vamos novamente usar a decomposição por menores de Laplace para essa matriz 4x4. Escolhemos uma linha ou coluna com mais zeros. Observando a segunda linha:
Novamente, há muitos zeros, facilitando a expansão.
Passo 7
Aplicando a fórmula de Laplace para o determinante dessa matriz 4x4:
Onde são os elementos da segunda linha e são os menores correspondentes.
Como somente é diferente de zero, temos:
Portanto, .
Passo 8
Agora, vamos encontrar o menor removendo a segunda linha e a quarta coluna da matriz :
Precisamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.
Passo 9
Para a matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a regra de Laplace novamente. Vamos usar a regra de Sarrus: