Determinar a equação geral do plano que contém as retas: , e s:lx=4 beta+2 y=-6 beta+1 z=-2 beta+3, beta in R.
Passo 1
Vamos resolver o problema de encontrar a equação geral de um plano Omega que contém duas retas dadas, r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e equação do plano. Precisaremos identificar pontos nas retas e calcular vetores que definem a direção dessas retas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar pontos específicos em cada uma das retas r e s. Para isso, escolhemos valores para os parâmetros alpha e beta.
Na reta r, se alpha = 0:
x = -2(0) + 1 = 1, y = 3(0) = 0, z = 0 + 2 = 2
Portanto, um ponto na reta r é P(1, 0, 2).
Na reta s, se beta = 0:
x = 4(0) + 2 = 2, y = -6(0) + 1 = 1, z = -2(0) + 3 = 3
Então, um ponto na reta s é Q(2, 1, 3).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os vetores direcionais das retas r e s. Esses vetores indicam a direção em que as retas se movem.
Para a reta r, o vetor direcional vr é derivado dos coeficientes de alpha:
vr = -2 3 1
Para a reta s, o vetor direcional vs é derivado dos coeficientes de beta:
vs = 4 -6 -2
Passo 4
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano n. Esse vetor pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores direcionais das retas r e s.
Calculando o produto vetorial vr times vs:
n = vr times vs = i & j & k -2 & 3 & 1 4 & -6 & -2
Observamos que o produto vetorial resultou no vetor nulo 0, o que indica que as retas r e s são paralelas ou coincidentes. Contudo, como temos dois pontos distintos P e Q nas retas, concluímos que as retas não são coincidentes, mas sim paralelas.
Porém, para definir um plano que contenha ambas as retas, é necessário que elas sejam coplanares, o que ocorre se o vetor que liga os pontos P e Q for paralelo a um dos vetores direcionais. Vamos verificar isso.
Passo 5
Vamos encontrar o vetor que liga P a Q:
PQ = Q - P = 2 - 1 1 - 0 3 - 2 = 1 1 1
Agora, verificamos se PQ é uma combinação linear de vr ou vs. Se não for, então as retas r e s não estão no mesmo plano, mas como precisamos de um plano que as contenha, assumimos que elas são coplanares.
Mas como o produto vetorial deu zero, há um conflito. Isso sugere que as retas são paralelas e não coincidentes, e portanto infinitos planos podem conter essas retas. Vamos escolher um plano específico utilizando os pontos P e Q e o vetor direcional comum.
Passo 6
Como as retas são paralelas, podemos usar o vetor direcional vr e o vetor PQ para determinar o vetor normal ao plano:
n = vr times PQ = -2 3 1 times 1 1 1 = i & j & k -2 & 3 & 1 1 & 1 & 1