Determinar a equação geral do plano que contém as retas:
, e .

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação geral de um plano que contém duas retas dadas, e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e equação do plano. Precisaremos identificar pontos nas retas e calcular vetores que definem a direção dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar pontos específicos em cada uma das retas e . Para isso, escolhemos valores para os parâmetros e .
Na reta , se :
Portanto, um ponto na reta é .
Na reta , se :
Então, um ponto na reta é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores direcionais das retas e . Esses vetores indicam a direção em que as retas se movem.
Para a reta , o vetor direcional é derivado dos coeficientes de :
Para a reta , o vetor direcional é derivado dos coeficientes de :

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano . Esse vetor pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores direcionais das retas e .
Calculando o produto vetorial :
Observamos que o produto vetorial resultou no vetor nulo , o que indica que as retas e são paralelas ou coincidentes. Contudo, como temos dois pontos distintos e nas retas, concluímos que as retas não são coincidentes, mas sim paralelas.
Porém, para definir um plano que contenha ambas as retas, é necessário que elas sejam coplanares, o que ocorre se o vetor que liga os pontos e for paralelo a um dos vetores direcionais. Vamos verificar isso.

Passo 5

Vamos encontrar o vetor que liga a :
Agora, verificamos se é uma combinação linear de ou . Se não for, então as retas e não estão no mesmo plano, mas como precisamos de um plano que as contenha, assumimos que elas são coplanares.
Mas como o produto vetorial deu zero, há um conflito. Isso sugere que as retas são paralelas e não coincidentes, e portanto infinitos planos podem conter essas retas. Vamos escolher um plano específico utilizando os pontos e e o vetor direcional comum.

Passo 6

Como as retas são paralelas, podemos usar o vetor direcional e o vetor para determinar o vetor normal ao plano:

Passo 7

Com o vetor normal e o ponto no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Expandindo:
Simplificando:

Resposta

A equação geral do plano é:

Exercícios relacionados

Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Determine:
o ponto de intersecção entre a reta : , e a reta .
(a)
Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace: