Determinar a equação geral do plano Omega que contém as retas:
r:lx=-2 alpha+1 y=3 alpha z=alpha+2, alpha in R, e s:lx=4 beta+2 y=-6 beta+1 z=-2 beta+3, beta in R.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar a equação geral de um plano Omega que contém duas retas dadas, r e s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores direcionais e equação do plano. Precisaremos identificar pontos nas retas e calcular vetores que definem a direção dessas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar pontos específicos em cada uma das retas r e s. Para isso, escolhemos valores para os parâmetros alpha e beta.
Na reta r, se alpha = 0:
x = -2(0) + 1 = 1, y = 3(0) = 0, z = 0 + 2 = 2
Portanto, um ponto na reta r é P(1, 0, 2).
Na reta s, se beta = 0:
x = 4(0) + 2 = 2, y = -6(0) + 1 = 1, z = -2(0) + 3 = 3
Então, um ponto na reta s é Q(2, 1, 3).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os vetores direcionais das retas r e s. Esses vetores indicam a direção em que as retas se movem.
Para a reta r, o vetor direcional vr é derivado dos coeficientes de alpha:
vr = -2 3 1
Para a reta s, o vetor direcional vs é derivado dos coeficientes de beta:
vs = 4 -6 -2

Passo 4

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um vetor normal ao plano n. Esse vetor pode ser encontrado calculando o produto vetorial entre os vetores direcionais das retas r e s.
Calculando o produto vetorial vr times vs:
n = vr times vs = i & j & k -2 & 3 & 1 4 & -6 & -2
n = i(3 cdot (-2) - 1 cdot (-6)) - j(-2 cdot (-2) - 1 cdot 4) + k(-2 cdot (-6) - 3 cdot 4)
n = i(-6 + 6) - j(4 - 4) + k(12 - 12) = i(0) - j(0) + k(0)
Observamos que o produto vetorial resultou no vetor nulo 0, o que indica que as retas r e s são paralelas ou coincidentes. Contudo, como temos dois pontos distintos P e Q nas retas, concluímos que as retas não são coincidentes, mas sim paralelas.
Porém, para definir um plano que contenha ambas as retas, é necessário que elas sejam coplanares, o que ocorre se o vetor que liga os pontos P e Q for paralelo a um dos vetores direcionais. Vamos verificar isso.

Passo 5

Vamos encontrar o vetor que liga P a Q:
PQ = Q - P = 2 - 1 1 - 0 3 - 2 = 1 1 1
Agora, verificamos se PQ é uma combinação linear de vr ou vs. Se não for, então as retas r e s não estão no mesmo plano, mas como precisamos de um plano que as contenha, assumimos que elas são coplanares.
Mas como o produto vetorial deu zero, há um conflito. Isso sugere que as retas são paralelas e não coincidentes, e portanto infinitos planos podem conter essas retas. Vamos escolher um plano específico utilizando os pontos P e Q e o vetor direcional comum.

Passo 6

Como as retas são paralelas, podemos usar o vetor direcional vr e o vetor PQ para determinar o vetor normal ao plano:
n = vr times PQ = -2 3 1 times 1 1 1 = i & j & k -2 & 3 & 1 1 & 1 & 1
n = i(3 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(-2 cdot 1 - 1 cdot 1) + k(-2 cdot 1 - 3 cdot 1)
n = i(3 - 1) - j(-2 -1) + k(-2 -3) = i(2) - j(-3) + k(-5)
n = 2 3 -5

Passo 7

Com o vetor normal n = 2 3 -5 e o ponto P(1, 0, 2) no plano, podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
2(x - 1) + 3(y - 0) -5(z - 2) = 0
Expandindo:
2x - 2 + 3y -5z +10 = 0
Simplificando:
2x + 3y -5z +8 = 0

Resposta

A equação geral do plano Omega é:
2x + 3y - 5z + 8 = 0

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