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Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para provar que . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades da transposição de matrizes e da multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a transposta de uma matriz e como ela interage com a multiplicação por um número (no caso, o -1).

Passo 2

Primeiro, lembremos que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição em vai para a posição em .

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz . Essa matriz é simplesmente multiplicada por , ou seja, cada elemento de é multiplicado por .

Passo 4

Aplicando a transposição na matriz , temos:
Pela definição de transposta, isso significa que estamos trocando as linhas pelas colunas de .

Passo 5

Por outro lado, se transpormos primeiro e depois multiplicarmos por , temos:
Aqui, primeiro transpondo , e depois multiplicando cada elemento da matriz transposta por .

Passo 6

Vamos comparar os dois resultados:
  • Em , primeiro multiplicamos cada elemento de por e depois transpomos.
  • Em , primeiro transpomos e depois multiplicamos cada elemento por .

Passo 7

Como a multiplicação por escalar e a transposição são operações que comutam, a ordem em que as aplicamos não altera o resultado final. Ou seja:

Resposta

Exercícios relacionados

Determinar a equação geral do plano que contém as retas:
, e .
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades:
Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a decomposição por menores de Laplace:
Dados os vetores , calcule: