(a) (-A)^T=-(A)^T

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão que pede para provar que (-A)^T = -(A)^T. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades da transposição de matrizes e da multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a transposta de uma matriz e como ela interage com a multiplicação por um número (no caso, o -1).

Passo 2

Primeiro, lembremos que a transposta de uma matriz A, denotada por A^T, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição (i, j) em A vai para a posição (j, i) em A^T.

Passo 3

Agora, vamos considerar a matriz -A. Essa matriz é simplesmente A multiplicada por -1, ou seja, cada elemento de A é multiplicado por -1.

Passo 4

Aplicando a transposição na matriz -A, temos:
(-A)^T
Pela definição de transposta, isso significa que estamos trocando as linhas pelas colunas de -A.

Passo 5

Por outro lado, se transpormos A primeiro e depois multiplicarmos por -1, temos:
-(A)^T
Aqui, primeiro transpondo A, e depois multiplicando cada elemento da matriz transposta por -1.

Passo 6

Vamos comparar os dois resultados:
  • Em (-A)^T, primeiro multiplicamos cada elemento de A por -1 e depois transpomos.
  • Em -(A)^T, primeiro transpomos A e depois multiplicamos cada elemento por -1.

Passo 7

Como a multiplicação por escalar e a transposição são operações que comutam, a ordem em que as aplicamos não altera o resultado final. Ou seja:
(-A)^T = -(A)^T

Resposta

(-A)^T = -(A)^T

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