Beleza, vamos resolver a questão que pede para provar que . Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades da transposição de matrizes e da multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a transposta de uma matriz e como ela interage com a multiplicação por um número (no caso, o -1).
Passo 2
Primeiro, lembremos que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição em vai para a posição em .
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz . Essa matriz é simplesmente multiplicada por , ou seja, cada elemento de é multiplicado por .
Passo 4
Aplicando a transposição na matriz , temos:
Pela definição de transposta, isso significa que estamos trocando as linhas pelas colunas de .
Passo 5
Por outro lado, se transpormos primeiro e depois multiplicarmos por , temos:
Aqui, primeiro transpondo , e depois multiplicando cada elemento da matriz transposta por .
Passo 6
Vamos comparar os dois resultados:
Em , primeiro multiplicamos cada elemento de por e depois transpomos.
Em , primeiro transpomos e depois multiplicamos cada elemento por .
Passo 7
Como a multiplicação por escalar e a transposição são operações que comutam, a ordem em que as aplicamos não altera o resultado final. Ou seja: