(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para provar que
. Isso está relacionado à matéria de Álgebra Linear, mais especificamente às propriedades da transposição de matrizes e da multiplicação por escalar. Para resolver, vamos precisar lembrar como funciona a transposta de uma matriz e como ela interage com a multiplicação por um número (no caso, o -1).
Passo 2
Primeiro, lembremos que a transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Ou seja, o elemento que está na posição
em
vai para a posição
em
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a matriz
. Essa matriz é simplesmente
multiplicada por
, ou seja, cada elemento de
é multiplicado por
.
Passo 4
Aplicando a transposição na matriz
, temos:
Pela definição de transposta, isso significa que estamos trocando as linhas pelas colunas de
.
Passo 5
Por outro lado, se transpormos
primeiro e depois multiplicarmos por
, temos:
Aqui, primeiro transpondo
, e depois multiplicando cada elemento da matriz transposta por
.
Passo 6
Vamos comparar os dois resultados:
- Em
, primeiro multiplicamos cada elemento de por e depois transpomos. - Em
, primeiro transpomos e depois multiplicamos cada elemento por .
Passo 7
Como a multiplicação por escalar e a transposição são operações que comutam, a ordem em que as aplicamos não altera o resultado final. Ou seja: