Use o método de Gauss para determinar uma condição envolvendo de modo que o sistema linear tenha solução nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com 3 equações e 4 variáveis:
x + 2y + 3z - 3t = a 2x - 5y - 3z + 12t = b 7x + y + 8z + 5t = c
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o Método de Gauss para resolver sistemas lineares. Vamos usar esse método para manipular as equações e encontrar uma condição que relacione os valores de de modo que o sistema tenha solução.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples (como a forma escalonada) usando operações de linha para facilitar a identificação das soluções.
Passo 3
Vamos começar eliminando o 2 times (x + 2y + 3z - 3t) = 2a Rightarrow 2x + 4y + 6z - 6t = 2a das segunda e terceira equações. Para isso, podemos usar a primeira equação.
Para eliminar o (2x - 5y - 3z + 12t) - (2x + 4y + 6z - 6t) = b - 2a -9y -9z + 18t = b - 2a da segunda equação:
Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
Observamos que as segunda e terceira linhas são múltiplos umas das outras. Para que o sistema tenha solução, os termos constantes devem seguir a mesma proporção. Ou seja:
b - 2a9 = 7a - c13
Isso é necessário para evitar uma contradição, como , o que indicaria que não há solução.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação que obtivemos para relacionar b - 2a9 = 7a - c13 :
13(b - 2a) = 9(7a - c) 13b - 26a = 63a - 9c
Vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
13b - 26a - 63a + 9c = 0 13b - 89a + 9c = 0
Agora, reunimos todos os termos:
Resposta
A condição necessária para que o sistema tenha solução é: