Use o método de Gauss para determinar uma condição envolvendo a, b, c de modo que o sistema linear tenha solução nos casos: lx+2 y+3 z-3 t=a 2 x-5 y-3 z+12 t=b 7 x+y+8 z+5 t=c

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações lineares com 3 equações e 4 variáveis:
x + 2y + 3z - 3t = a 2x - 5y - 3z + 12t = b 7x + y + 8z + 5t = c
A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente o Método de Gauss para resolver sistemas lineares. Vamos usar esse método para manipular as equações e encontrar uma condição que relacione os valores de de modo que o sistema tenha solução.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema, que inclui os coeficientes das variáveis e os termos constantes:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 2 & -5 & -3 & 12 & | & b 7 & 1 & 8 & 5 & | & c
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma mais simples (como a forma escalonada) usando operações de linha para facilitar a identificação das soluções.

Passo 3

Vamos começar eliminando o 2 times (x + 2y + 3z - 3t) = 2a Rightarrow 2x + 4y + 6z - 6t = 2a das segunda e terceira equações. Para isso, podemos usar a primeira equação.
  • Para eliminar o (2x - 5y - 3z + 12t) - (2x + 4y + 6z - 6t) = b - 2a -9y -9z + 18t = b - 2a da segunda equação:
    • Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:
7 times (x + 2y + 3z - 3t) = 7a Rightarrow 7x + 14y + 21z - 21t = 7a
Subtraindo da segunda equação:
(7x + y + 8z + 5t) - (7x + 14y + 21z - 21t) = c - 7a -13y -13z + 26t = c - 7a
  • Para eliminar o 1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & -9 & -9 & 18 & | & b - 2a 0 & -13 & -13 & 26 & | & c - 7a da terceira equação:
    • Multiplicamos a primeira equação por 7 e subtraímos da terceira:
Subtraindo da terceira equação:
Agora, nossa matriz fica assim:

Passo 4

Vamos simplificar as segunda e terceira linhas dividindo pelos coeficientes comuns para facilitar os cálculos.
  • Segunda linha:
    • Podemos dividir todos os termos por -9:
0x + y + y - 2t = b - 2a-9 Rightarrow y + y - 2t = 2a - b9
Isso simplifica para:
- y - z + 2t = b - 2a9
  • Terceira linha:
    • Podemos dividir todos os termos por -13:
0x + y + z - 2t = c - 7a-13 Rightarrow y + z - 2t = 7a - c13
Agora, nossa matriz está assim:
1 & 2 & 3 & -3 & | & a 0 & -1 & -1 & 2 & | & b - 2a9 0 & -1 & -1 & 2 & | & 7a - c13

Passo 5

Observamos que as segunda e terceira linhas são múltiplos umas das outras. Para que o sistema tenha solução, os termos constantes devem seguir a mesma proporção. Ou seja:
b - 2a9 = 7a - c13
Isso é necessário para evitar uma contradição, como , o que indicaria que não há solução.

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação que obtivemos para relacionar b - 2a9 = 7a - c13 :
13(b - 2a) = 9(7a - c) 13b - 26a = 63a - 9c
Vamos multiplicar em cruz para eliminar as frações:
13b - 26a - 63a + 9c = 0 13b - 89a + 9c = 0
Agora, reunimos todos os termos:

Resposta

A condição necessária para que o sistema tenha solução é:
13b - 89a + 9c = 0

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