Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(b) (cccc2 & 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0 & 0 3 & 3 & 0 & 4 4 & -1 & 2 & -4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que têm várias propriedades legais na matemática, como dizer se a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos usar um método que simplifica a conta utilizando as propriedades dos determinantes e algumas operações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz que queremos calcular o determinante. Ela é assim:
2 & 1 & 2 & 1 1 & 0 & 0 & 0 3 & 3 & 0 & 4 4 & -1 & 2 & -4
Perceba que a segunda linha tem três zeros. Isso vai facilitar bastante a nossa vida, porque vamos usar a expansão por co-fatores nessa linha.

Passo 3

A expansão por co-fatores nos permite calcular o determinante multiplicando cada elemento de uma linha (ou coluna) pelo seu co-fator correspondente e somando tudo. Como a segunda linha tem muitos zeros, só precisamos calcular um co-fator, o que simplifica a conta.

Passo 4

Vamos focar no elemento da segunda linha e primeira coluna, que é 1. O co-fator desse elemento é calculado assim:
C21 = (-1)^2+1 times det(M21)
Aqui, M21 = 1 & 2 & 1 3 & 0 & 4 -1 & 2 & -4 é a matriz menor, que eliminamos a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz menor det(M21) = 1 times det0 & 4 2 & -4 - 2 times det3 & 4 -1 & -4 + 1 times det3 & 0 -1 & 2 :
det0 & 4 2 & -4 = (0 times -4) - (4 times 2) = -8
Calculando cada determinante menor:
det3 & 4 -1 & -4 = (3 times -4) - (4 times -1) = -12 + 4 = -8
det3 & 0 -1 & 2 = (3 times 2) - (0 times -1) = 6
det(M21) = 1 times (-8) - 2 times (-8) + 1 times 6 = -8 + 16 + 6 = 14
Substituindo de volta:

Passo 6

Agora que temos o determinante da matriz menor, vamos calcular o co-fator:
C21 = (-1)^3 times 14 = -1 times 14 = -14

Passo 7

Finalmente, o determinante da matriz original é o elemento da segunda linha e primeira coluna multiplicado pelo seu co-fator:
det(A) = 1 times (-14) = -14

Resposta

O determinante da matriz é -14.

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