Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de uma matriz 4x4. Determinantes são números que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que têm várias propriedades legais na matemática, como dizer se a matriz é invertível. Para resolver isso, vamos usar um método que simplifica a conta utilizando as propriedades dos determinantes e algumas operações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz que queremos calcular o determinante. Ela é assim:
Perceba que a segunda linha tem três zeros. Isso vai facilitar bastante a nossa vida, porque vamos usar a expansão por co-fatores nessa linha.
Passo 3
A expansão por co-fatores nos permite calcular o determinante multiplicando cada elemento de uma linha (ou coluna) pelo seu co-fator correspondente e somando tudo. Como a segunda linha tem muitos zeros, só precisamos calcular um co-fator, o que simplifica a conta.
Passo 4
Vamos focar no elemento da segunda linha e primeira coluna, que é 1. O co-fator desse elemento é calculado assim:
Aqui, é a matriz menor, que eliminamos a segunda linha e a primeira coluna da matriz original:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz menor :
Calculando cada determinante menor:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora que temos o determinante da matriz menor, vamos calcular o co-fator:
Passo 7
Finalmente, o determinante da matriz original é o elemento da segunda linha e primeira coluna multiplicado pelo seu co-fator: