Seja uma matriz tal que e , onde 0 denota a matriz nula de ordem 4 . Determine o valor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma matriz quadrada de ordem 4 que satisfaz a equação . Além disso, sabemos que o determinante de não é zero (), o que significa que é uma matriz invertível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e propriedades de matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação dada:
Podemos fatorar da expressão:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 4. Essa fatoração nos ajuda a entender melhor a relação entre e a matriz identidade.
Passo 3
Agora, sabemos que o produto de e resulta na matriz nula. Como , isso implica que é invertível. Se uma matriz invertível é multiplicada por outra matriz e o resultado é a matriz nula, então a segunda matriz também deve ser a matriz nula. Portanto:
Passo 4
Resolvendo a equação para , temos:
Isso significa que é igual a vezes a matriz identidade. Agora, vamos calcular o determinante de .
Passo 5
O determinante de uma matriz identidade de ordem é 1. Quando multiplicamos a matriz identidade por um escalar , o determinante da nova matriz é . No nosso caso, e , então: