Seja
uma matriz
tal que
e
, onde 0 denota a matriz nula de ordem 4 . Determine o valor
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma matriz quadrada
de ordem 4 que satisfaz a equação
. Além disso, sabemos que o determinante de
não é zero (
), o que significa que
é uma matriz invertível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e propriedades de matrizes invertíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação dada:
Podemos fatorar
da expressão:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem 4. Essa fatoração nos ajuda a entender melhor a relação entre
e a matriz identidade.
Passo 3
Agora, sabemos que o produto de
e
resulta na matriz nula. Como
, isso implica que
é invertível. Se uma matriz invertível é multiplicada por outra matriz e o resultado é a matriz nula, então a segunda matriz também deve ser a matriz nula. Portanto:
Passo 4
Resolvendo a equação
para
, temos:
Isso significa que
é igual a
vezes a matriz identidade. Agora, vamos calcular o determinante de
.
Passo 5
O determinante de uma matriz identidade
de ordem
é 1. Quando multiplicamos a matriz identidade por um escalar
, o determinante da nova matriz
é
. No nosso caso,
e
, então:
Resposta
O valor de
é 16.