Seja Q uma matriz 4 times 4 tal que det(Q) neq 0 e Q^3+2 Q^2=0, onde 0 denota a matriz nula de ordem 4 . Determine o valor dot det(Q).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma matriz quadrada de ordem 4 que satisfaz a equação . Além disso, sabemos que o determinante de não é zero ( ), o que significa que é uma matriz invertível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear relacionados a determinantes e propriedades de matrizes invertíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação dada:
Q^3 + 2 Q^2 = 0
Podemos fatorar Q^2(Q + 2I) = 0 da expressão:
Aqui, é a matriz identidade de ordem 4. Essa fatoração nos ajuda a entender melhor a relação entre e a matriz identidade.

Passo 3

Agora, sabemos que o produto de Q + 2I = 0 e resulta na matriz nula. Como , isso implica que é invertível. Se uma matriz invertível é multiplicada por outra matriz e o resultado é a matriz nula, então a segunda matriz também deve ser a matriz nula. Portanto:

Passo 4

Resolvendo a equação Q = -2I para , temos:
Isso significa que é igual a vezes a matriz identidade. Agora, vamos calcular o determinante de .

Passo 5

O determinante de uma matriz identidade det(Q) = (-2)^4 = 16 de ordem é 1. Quando multiplicamos a matriz identidade por um escalar , o determinante da nova matriz é . No nosso caso, e , então:

Resposta

O valor de é 16.

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