Determine os traços de um plano (sigma) paralelo à linha de terra e que contenha a reta (C)(D). Considere:
© [-1 ; 0 ;-1]
(D) [-2 ;-3 ;-2]

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os traços de um plano (sigma) que é paralelo à linha de terra e que contenha a reta (C)(D). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e condições de paralelismo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que o plano (sigma) é paralelo à linha de terra. Geralmente, a linha de terra pode ser interpretada como a linha do horizonte, que no sistema cartesiano tridimensional corresponde ao plano z = 0. Portanto, o plano (sigma) sendo paralelo à linha de terra significa que ele também é paralelo ao plano z = 0.

Passo 3

Sabemos que a reta (C)(D) é definida pelos pontos C(-1, 0, -1) e D(-2, -3, -2). Para encontrar o plano que contém essa reta, precisamos encontrar a direção da reta e a normal do plano.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor diretor da reta (C)(D). Subtraindo as coordenadas de C de D, temos:
CD = D - C = (-2 - (-1), -3 - 0, -2 - (-1)) = (-1, -3, -1)

Passo 5

Como o plano (sigma) é paralelo ao plano z = 0, ele deve ter a mesma orientação, ou seja, a sua normal será a mesma do plano z = 0, que é o vetor (0, 0, 1).

Passo 6

Agora, sabemos que o vetor normal do plano (sigma) é (0, 0, 1) e que ele contém a reta (C)(D) com vetor diretor (-1, -3, -1). Como o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor diretor do plano, verificamos:
n cdot CD = (0)(-1) + (0)(-3) + (1)(-1) = -1 neq 0
Isso indica que houve um erro na interpretação inicial. Na verdade, se o plano é paralelo ao plano z = 0, ele deve ter a mesma normal, ou seja, (0, 0, 1), e deve ter uma equação da forma z = d.

Passo 7

Como o plano contém a reta (C)(D), os pontos C e D devem satisfazer a equação do plano z = d. Observando as coordenadas de C e D, temos:
Para C(-1, 0, -1):
-1 = d
Para D(-2, -3, -2):
-2 = d
Como os valores de d são diferentes, isso significa que não existe um plano paralelo a z = 0 que contenha a reta (C)(D). Portanto, a interpretação inicial estava incorreta.

Passo 8

Vamos reavaliar a interpretação. Talvez “paralelo à linha de terra” signifique que o plano é paralelo ao eixo xy, mas inclinado de forma que contenha a reta (C)(D). Para isso, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém a reta e é paralelo a uma direção dada.

Passo 9

Vamos considerar que o plano (sigma) deve ser paralelo ao eixo y, por exemplo. Então, a direção do eixo y é (0,1,0). O plano deve conter a reta (C)(D) com vetor diretor (-1, -3, -1) e ser paralelo à direção (0,1,0).

Passo 10

Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores diretores no plano. Um é CD = (-1, -3, -1) e o outro é a direção paralela à linha de terra, supondo (0,1,0). Calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:
n = CD times (0,1,0) = i & j & k -1 & -3 & -1 0 & 1 & 0 = ( (-3)(0) - (-1)(1) )i - ( (-1)(0) - (-1)(0) )j + ( (-1)(1) - (-3)(0) )k = (1, 0, -1)

Passo 11

Com o vetor normal n = (1, 0, -1) e sabendo que o plano contém o ponto C(-1, 0, -1), podemos usar a equação do plano:
1(x + 1) + 0(y - 0) -1(z + 1) = 0 x + 1 - z -1 = 0 x - z = 0 x = z

Passo 12

A equação do plano (sigma) é x = z. Agora, para encontrar os traços, identificamos onde o plano intercepta os eixos x, y e z.
  • Traço no x (quando y=0 e z=0):
x = 0 Ponto , (0, 0, 0)
  • Traço no y (quando x=0 e z=0):
Assim, o traço no $y$ é toda a linha $y$-axis Mas como o plano é $x = z$, o traço no $y$ é a linha $y$ çééçé
  • Traço no z (quando x=0 e y=0):
z = 0 Ponto , (0, 0, 0)

Resposta

Os traços do plano (sigma) são:
  • No eixo x: (0, 0, 0)
  • No eixo y: toda a linha do eixo y
  • No eixo z: (0, 0, 0)

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