Determine os traços de um plano paralelo à linha de terra e que contenha a reta . Considere:
©
(D)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os traços de um plano que é paralelo à linha de terra e que contenha a reta . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e condições de paralelismo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que o plano é paralelo à linha de terra. Geralmente, a linha de terra pode ser interpretada como a linha do horizonte, que no sistema cartesiano tridimensional corresponde ao plano . Portanto, o plano sendo paralelo à linha de terra significa que ele também é paralelo ao plano .

Passo 3

Sabemos que a reta é definida pelos pontos e . Para encontrar o plano que contém essa reta, precisamos encontrar a direção da reta e a normal do plano.

Passo 4

Vamos encontrar o vetor diretor da reta . Subtraindo as coordenadas de de , temos:

Passo 5

Como o plano é paralelo ao plano , ele deve ter a mesma orientação, ou seja, a sua normal será a mesma do plano , que é o vetor .

Passo 6

Agora, sabemos que o vetor normal do plano é e que ele contém a reta com vetor diretor . Como o vetor normal é perpendicular a qualquer vetor diretor do plano, verificamos:
Isso indica que houve um erro na interpretação inicial. Na verdade, se o plano é paralelo ao plano , ele deve ter a mesma normal, ou seja, , e deve ter uma equação da forma .

Passo 7

Como o plano contém a reta , os pontos e devem satisfazer a equação do plano . Observando as coordenadas de e , temos:
Para :
Para :
Como os valores de são diferentes, isso significa que não existe um plano paralelo a que contenha a reta . Portanto, a interpretação inicial estava incorreta.

Passo 8

Vamos reavaliar a interpretação. Talvez “paralelo à linha de terra” signifique que o plano é paralelo ao eixo , mas inclinado de forma que contenha a reta . Para isso, precisamos encontrar a equação geral do plano que contém a reta e é paralelo a uma direção dada.

Passo 9

Vamos considerar que o plano deve ser paralelo ao eixo , por exemplo. Então, a direção do eixo é . O plano deve conter a reta com vetor diretor e ser paralelo à direção .

Passo 10

Para encontrar a equação do plano, precisamos de dois vetores diretores no plano. Um é e o outro é a direção paralela à linha de terra, supondo . Calculamos o produto vetorial para encontrar o vetor normal:

Passo 11

Com o vetor normal e sabendo que o plano contém o ponto , podemos usar a equação do plano:

Passo 12

A equação do plano é . Agora, para encontrar os traços, identificamos onde o plano intercepta os eixos , e .
  • Traço no (quando e ):
  • Traço no (quando e ):
çééçé
  • Traço no (quando e ):

Resposta

Os traços do plano são:
  • No eixo :
  • No eixo : toda a linha do eixo
  • No eixo :

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(A)
(B)
© e
(D) .
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(A)
(B) e
© .
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(A) e
(B) .
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(b)