Dada a reta , de máximo declive do plano , determine os traços do plano. Considere:
(A) e
(B) .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma reta definida pelos pontos e . Essa reta é a de máximo declive do plano . Nosso objetivo é descobrir os traços desse plano, ou seja, onde ele corta os eixos , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial, especialmente sobre retas e planos no espaço. Vamos usar conceitos como vetores diretores, equação do plano e interceptações nos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta . Isso é feito calculando o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas dos pontos e :
Esse vetor nos dá a direção da reta .

Passo 3

Como a reta é a direção de máximo declive do plano , ela está relacionada ao vetor normal do plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e nos ajuda a definir sua equação.
Vamos supor que o vetor normal seja paralelo ao vetor . Assim, podemos considerar:

Passo 4

Com o vetor normal , podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano com vetor normal que passa pelo ponto é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos expandir essa equação para simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Portanto, a equação do plano é:

Passo 6

Agora, para encontrar os traços do plano, precisamos descobrir onde ele intercepta os eixos coordenados. Os traços são os pontos onde o plano corta cada um dos eixos:
  • Eixo : quando e
  • Eixo : quando e
  • Eixo : quando e

Passo 7

Traço no eixo :
Colocamos e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Passo 8

Traço no eixo :
Colocamos e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Passo 9

Traço no eixo :
Colocamos e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Resposta

Os traços do plano são:
  • No eixo :
  • No eixo :
  • No eixo :

Exercícios relacionados

Determine os traços de um plano paralelo à linha de terra e que contenha a reta . Considere:
©
(D)
Represente em épura o prisma reto com base (A)(B)©(D), sabendo que sua altura é igual a 5 e que a base está apoiada em . Considere:
(A)
(B)
© e
(D) .
Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(b)
Seja a transformação linear definida por
Mostre que é um isomorfismo, e determine:
(b) .