Dada a reta
, de máximo declive do plano
, determine os traços do plano. Considere:
(A)
e
(B)
.
(A)
(B)
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma reta definida pelos pontos
e
. Essa reta é a de máximo declive do plano
. Nosso objetivo é descobrir os traços desse plano, ou seja, onde ele corta os eixos
,
e
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial, especialmente sobre retas e planos no espaço. Vamos usar conceitos como vetores diretores, equação do plano e interceptações nos eixos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a direção da reta
. Isso é feito calculando o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas dos pontos
e
:
Esse vetor
nos dá a direção da reta
.
Passo 3
Como a reta
é a direção de máximo declive do plano
, ela está relacionada ao vetor normal do plano. O vetor normal
é perpendicular ao plano e nos ajuda a definir sua equação.
Vamos supor que o vetor normal
seja paralelo ao vetor
. Assim, podemos considerar:
Passo 4
Com o vetor normal
, podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano com vetor normal
que passa pelo ponto
é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos expandir essa equação para simplificar:
Juntando os termos semelhantes:
Portanto, a equação do plano
é:
Passo 6
Agora, para encontrar os traços do plano, precisamos descobrir onde ele intercepta os eixos coordenados. Os traços são os pontos onde o plano corta cada um dos eixos:
- Eixo
: quando e - Eixo
: quando e - Eixo
: quando e
Passo 7
Traço no eixo
:
Colocamos
e
na equação do plano:
Resolvendo para
:
Então, o traço no eixo
é
.
Passo 8
Traço no eixo
:
Colocamos
e
na equação do plano:
Resolvendo para
:
Então, o traço no eixo
é
.
Passo 9
Traço no eixo
:
Colocamos
e
na equação do plano:
Resolvendo para
:
Então, o traço no eixo
é
.
Resposta
Os traços do plano
são:
- No eixo
: - No eixo
: - No eixo
: