Dada a reta (A)(B), de máximo declive do plano (sigma), determine os traços do plano. Considere:
(A) [2 ; 3 ; 2] ; e
(B) [4 ; 2 ; 1].

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma reta definida pelos pontos e . Essa reta é a de máximo declive do plano . Nosso objetivo é descobrir os traços desse plano, ou seja, onde ele corta os eixos , e .
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre geometria espacial, especialmente sobre retas e planos no espaço. Vamos usar conceitos como vetores diretores, equação do plano e interceptações nos eixos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a direção da reta AB = [4 - 2; , 2 - 3; , 1 - 2] = [2; -1; -1] . Isso é feito calculando o vetor diretor da reta, que é a diferença entre as coordenadas dos pontos e :
Esse vetor nos dá a direção da reta .

Passo 3

Como a reta n = [2; -1; -1] é a direção de máximo declive do plano , ela está relacionada ao vetor normal do plano. O vetor normal é perpendicular ao plano e nos ajuda a definir sua equação.
Vamos supor que o vetor normal seja paralelo ao vetor . Assim, podemos considerar:

Passo 4

Com o vetor normal a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , podemos escrever a equação geral do plano. A equação de um plano com vetor normal 2(x - 2) -1(y - 3) -1(z - 2) = 0 que passa pelo ponto é dada por:
Substituindo os valores:

Passo 5

Vamos expandir essa equação para simplificar:
2x - 4 - y + 3 - z + 2 = 0
Juntando os termos semelhantes:
2x - y - z + ( -4 + 3 + 2 ) = 0
2x - y - z + 1 = 0
Portanto, a equação do plano 2x - y - z + 1 = 0 é:

Passo 6

Agora, para encontrar os traços do plano, precisamos descobrir onde ele intercepta os eixos coordenados. Os traços são os pontos onde o plano corta cada um dos eixos:
  • Eixo : quando e
  • Eixo : quando e
  • Eixo : quando e

Passo 7

Traço no eixo 2x + 1 = 0 :
Colocamos 2x = -1 Rightarrow x = -12 e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Passo 8

Traço no eixo - y + 1 = 0 :
Colocamos - y = -1 Rightarrow y = 1 e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Passo 9

Traço no eixo - z + 1 = 0 :
Colocamos - z = -1 Rightarrow z = 1 e na equação do plano:
Resolvendo para :
Então, o traço no eixo é .

Resposta

Os traços do plano são:
  • No eixo :
  • No eixo :
  • No eixo :

Exercícios relacionados