Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por
T(x, y, z)=(x+z, x-y, y)
Mostre que T é um isomorfismo, e determine:
(b) T^2(x, y, z).

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A transformação linear T(x, y, z) = (x + z, x - y, y) está definida por
O que queremos descobrir é o que acontece quando aplicamos essa transformação duas vezes seguidas, ou seja, encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T(x, y, z) = (x + z, x - y, y) no vetor original . Usando a definição de , temos:
Isso nos dá um novo vetor: .

Passo 3

Agora, queremos aplicar a transformação T(a, b, c) = (a + c, a - b, b) novamente nesse novo vetor. Ou seja, vamos calcular T(x + z, x - y, y) = ((x + z) + y, (x + z) - (x - y), x - y) .
Usando a definição de de novo:
Substituindo , e , temos:

Passo 4

Vamos simplificar cada componente dessa expressão:
  1. Primeiro componente:
(x + z) + y = x + y + z
  1. Segundo componente:
(x + z) - (x - y) = x + z - x + y = y + z
  1. Terceiro componente permanece o mesmo:
x - y

Passo 5

Juntando tudo, o resultado de T^2(x, y, z) = (x + y + z, y + z, x - y) é:

Resposta

T^2(x, y, z) = (x + y + z, y + z, x - y)

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