Seja
a transformação linear definida por
Mostre que
é um isomorfismo, e determine:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. A transformação linear
está definida por
O que queremos descobrir é o que acontece quando aplicamos essa transformação duas vezes seguidas, ou seja, encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
no vetor original
. Usando a definição de
, temos:
Isso nos dá um novo vetor:
.
Passo 3
Agora, queremos aplicar a transformação
novamente nesse novo vetor. Ou seja, vamos calcular
.
Usando a definição de
de novo:
Substituindo
,
e
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar cada componente dessa expressão:
- Primeiro componente:
- Segundo componente:
- Terceiro componente permanece o mesmo:
Passo 5
Juntando tudo, o resultado de
é: