Calcule os determinantes das seguintes matrizes. B=(cccc3 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 2 1 & -2 & -1 & -4 -1 & 0 & 0 & 3)

Passo 1

Vamos calcular o determinante da matriz . O determinante é um número que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos usar a regra de Laplace, também conhecida como expansão por cofatores, que nos ajuda a calcular determinantes de matrizes de ordem maior que 2.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna que tenha mais zeros, pois isso simplifica os cálculos. Observando a matriz B = 3 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 2 & 2 1 & -2 & -1 & -4 -1 & 0 & 0 & 3 :
A primeira linha tem dois zeros, então é uma boa escolha para a expansão.

Passo 3

A regra de Laplace para a expansão da primeira linha é:
det(B) = b11C11 + b12C12 + b13C13 + b14C14
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Identificamos os elementos da primeira linha e seus cofatores:
b11 &= 3 & C11 &= (-1)^1+1 det(M11) = det1 & 2 & 2 -2 & -1 & -4 0 & 0 & 3 b12 &= 0 & C12 &= (-1)^1+2 det(M12) = -det0 & 2 & 2 1 & -1 & -4 -1 & 0 & 3 b13 &= 0 & C13 &= (-1)^1+3 det(M13) = det0 & 1 & 2 1 & -2 & -4 -1 & 0 & 3 b14 &= 1 & C14 &= (-1)^1+4 det(M14) = -det0 & 1 & 2 1 & -2 & -1 -1 & 0 & 0

Passo 5

Como det(B) = 3 cdot det(M11) + 1 cdot (-det(M14)) e são zeros, os termos correspondentes na expansão do determinante serão nulos. Assim, ficamos com:

Passo 6

Vamos calcular M11 = 1 & 2 & 2 -2 & -1 & -4 0 & 0 & 3 :
det(M11) = 3 cdot (-1)^3+3 det1 & 2 -2 & -1 = 3 cdot det1 & 2 -2 & -1
Como a terceira linha tem dois zeros, expandimos por essa linha:
det1 & 2 -2 & -1 = (1)(-1) - (2)(-2) = -1 + 4 = 3
Calculando o determinante 2x2:
det(M11) = 3 cdot 3 = 9
Portanto:

Passo 7

Agora, calculamos M14 = 0 & 1 & 2 1 & -2 & -1 -1 & 0 & 0 :
det(M14) = -1 cdot (-1)^1+2 det1 & -1 -1 & 0 = 1 cdot det1 & -1 -1 & 0
Expandimos pelo primeiro elemento da primeira coluna que é zero, mas isso não simplifica. Então, expandimos pela segunda coluna que tem um elemento zero:
det1 & -1 -1 & 0 = (1)(0) - (-1)(-1) = 0 - 1 = -1
Calculando o determinante 2x2:
det(M14) = 1 cdot (-1) = -1
Portanto:

Passo 8

Voltando à expressão do determinante de det(B) = 3 cdot 9 + 1 cdot (-(-1)) = 27 + 1 = 28 :

Resposta

O determinante da matriz é .

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