Verdadeiro ou falso. Justifique. Considere A e B são matrizes quadradas de mesma ordem. (A+B)(A-B)=A^2-B^2

Passo 1

Estamos verificando se a igualdade (A+B)(A-B) = A^2 - B^2 é verdadeira ou falsa, onde A e B são matrizes quadradas de mesma ordem. Para isso, vamos utilizar as propriedades da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade usando a distributiva:
(A + B)(A - B) = A(A - B) + B(A - B)

Passo 3

Agora, multiplicamos cada termo:
A(A - B) + B(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2

Passo 4

Vamos comparar o resultado obtido com o lado direito da igualdade, que é A^2 - B^2. Observamos que:
A^2 - AB + BA - B^2 neq A^2 - B^2
A diferença está nos termos -AB + BA.

Passo 5

Para que a igualdade original seja verdadeira, os termos -AB + BA precisam se cancelar, ou seja, AB = BA. Isso significa que as matrizes A e B devem comutar.

Resposta

Falso. A igualdade (A+B)(A - B) = A^2 - B^2 só é válida se as matrizes A e B comutarem ( AB = BA), o que nem sempre acontece.

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