Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares: lx+y+t=0 x+2 y+z+t=1 3 x+3 y+z+2 t=6 y+3 z-t=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Basicamente, vamos manipular as equações para simplificar e encontrar os valores de , , e . Para isso, vamos precisar organizar as equações em forma de matriz aumentada e realizar operações nas linhas para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 1 & 2 & 1 & 1 & | & 1 3 & 3 & 1 & 2 & | & 6 0 & 1 & 3 & -1 & | & 3
Aqui, cada linha representa uma equação e as colunas representam os coeficientes de , , , e o termo constante.

Passo 3

Vamos começar eliminando o Linha 2 - Linha 1 Rightarrow (1-1)x + (2-1)y + (1-0)z + (1-1)t = 1-0 Rightarrow 0x + 1y + 1z + 0t = 1 das equações 2 e 3 usando a primeira equação. Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira:
Para a segunda linha:
Linha 3 - 3 times Linha 1 Rightarrow (3-3)x + (3-3)y + (1-0)z + (2-3)t = 6-0 Rightarrow 0x + 0y + 1z -1t = 6
Para a terceira linha:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & -1 & | & 6 0 & 1 & 3 & -1 & | & 3
A nova matriz fica assim:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o Linha 4 - Linha 2 Rightarrow (0-0)x + (1-1)y + (3-1)z + (-1-0)t = 3-1 Rightarrow 0x + 0y + 2z -1t = 2 da quarta linha usando a segunda linha. Subtraímos a segunda linha da quarta:
1 & 1 & 0 & 1 & | & 0 0 & 1 & 1 & 0 & | & 1 0 & 0 & 1 & -1 & | & 6 0 & 0 & 2 & -1 & | & 2
A matriz atualizada é:

Passo 5

Vamos resolver a terceira equação para z - t = 6 Rightarrow z = t + 6 :
2(t + 6) - t = 2 Rightarrow 2t + 12 - t = 2 Rightarrow t + 12 = 2 Rightarrow t = -10
Substituímos z = -10 + 6 = -4 na quarta equação:
y + z = 1 Rightarrow y + (-4) = 1 Rightarrow y = 5
Agora que temos x + y + t = 0 Rightarrow x + 5 + (-10) = 0 Rightarrow x -5 = 0 Rightarrow x = 5 , encontramos :
Usando a segunda equação para encontrar :
Finalmente, usamos a primeira equação para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é , , e .

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