Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares: lx+3 y+z=1 2 x+6 y+9 z=7 2 x+8 y+8 z=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação de Gauss. Olha só o que a gente tem:
x + 3y + z = 1 2x + 6y + 9z = 7 2x + 8y + 8z = 6
O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente a eliminação de Gauss, que serve para simplificar sistemas de equações e encontrar os valores das incógnitas. Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada:
1 & 3 & 1 & | & 1 2 & 6 & 9 & | & 7 2 & 8 & 8 & | & 6
Agora, vamos usar a primeira equação para eliminar o 2 times (x + 3y + z) = 2 times 1 Rightarrow 2x + 6y + 2z = 2 das outras duas equações. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda equação:
(2x + 6y + 9z) - (2x + 6y + 2z) = 7 - 2 Rightarrow 7z = 5 Rightarrow z = 57
Subtraindo da segunda equação:

Passo 3

Agora, vamos eliminar o 2 times (x + 3y + z) = 2 times 1 Rightarrow 2x + 6y + 2z = 2 da terceira equação usando a primeira equação multiplicada por 2:
(2x + 8y + 8z) - (2x + 6y + 2z) = 6 - 2 Rightarrow 2y + 6z = 4
Subtraindo da terceira equação:
2y + 6 times 57 = 4 Rightarrow 2y + 307 = 4
Sabemos que 2y = 4 - 307 = 287 - 307 = -27 Rightarrow y = -17 , então substituímos:
Vamos resolver para :

Passo 4

Agora que já temos x + 3y + z = 1 e x + 3 times (-17) + 57 = 1 Rightarrow x - 37 + 57 = 1 Rightarrow x + 27 = 1 , vamos encontrar o x = 1 - 27 = 77 - 27 = 57 usando a primeira equação:
Substituindo e :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do sistema é:
x = 57, y = -17, z = 57

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