Classificar e resolver os sistemas:
x+4 y+6 z & =11 2 x+3 y+4 z & =9 3 x+2 y+2 z & =7
Gabarito: Compatível e indeterminado; Grau de Liberdade: 1 ; x=3+2 z5, y=13-8 z5

Passo 1

Temos um sistema de três equações com três variáveis: , e . Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente o método de eliminação, para resolver esse sistema. Precisaremos manipular as equações para encontrar relações que nos permitam determinar os valores das variáveis ou expressá-las em termos de uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema para visualizar melhor:
x + 4y + 6z = 11 (Equação 1) 2x + 3y + 4z = 9 (Equação 2) 3x + 2y + 2z = 7 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Vamos eliminar uma das variáveis para simplificar o sistema. Vou optar por eliminar o 2(x + 4y + 6z) = 2 cdot 11 Rightarrow 2x + 8y + 12z = 22 (Equação 4) . Para isso, multiplicamos a Equação 1 por 2 e subtraímos da Equação 2:
(2x + 8y + 12z) - (2x + 3y + 4z) = 22 - 9 Rightarrow 5y + 8z = 13 (Equação 5) çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 4:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar o 3(x + 4y + 6z) = 3 cdot 11 Rightarrow 3x + 12y + 18z = 33 (Equação 6) usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 3 e a Equação 3 por 1:
1(3x + 2y + 2z) = 1 cdot 7 Rightarrow 3x + 2y + 2z = 7 (Equação 3) çã
(3x + 12y + 18z) - (3x + 2y + 2z) = 33 - 7 Rightarrow 10y + 16z = 26 çã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 6:
5y + 8z = 13 (Confirma a Equação 5)
Simplificando dividindo por 2:
çã

Passo 5

Agora vemos que a Equação 5 surgiu de duas combinações, indicando que as equações são dependentes. Isso sugere que o sistema tem infinitas soluções (é compatível e indeterminado) e existe uma variável livre. Vamos escolher 5y + 8z = 13 Rightarrow 5y = 13 - 8z Rightarrow y = 13 - 8z5 como variável livre.
Expressamos em termos de :

Passo 6

Com x + 4(13 - 8z5) + 6z = 11 expresso em termos de x + 52 - 32z5 + 6z = 11 , vamos substituir na Equação 1 para encontrar x = 11 - 52 - 32z5 - 6z :
x = 555 - 525 + 32z5 - 30z5
Multiplicando e simplificando:
x = 3 + 2z5

Resposta

O sistema é compatível e indeterminado, com grau de liberdade 1. As soluções são dadas por:
x = 3 + 2z5, y = 13 - 8z5

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