Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante de uma matriz dada. O determinante é uma ferramenta importante na matemática, especialmente em álgebra linear, que nos ajuda a entender certas propriedades das matrizes, como se elas são invertíveis ou não. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos determinantes e algumas operações sobre linhas de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz C = 1 & 1 & a & 0 0 & 1 & b & 0 0 & 0 & c & 0 0 & 0 & d & 1 :
Vemos que a matriz é quase triangular, exceto pelo primeiro elemento acima da diagonal principal. Isso significa que podemos simplificar o cálculo do determinante usando algumas propriedades das matrizes.
Passo 3
Uma propriedade útil dos determinantes é que se uma matriz é triangular (ou seja, tem zeros abaixo ou acima da diagonal principal), o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal. No entanto, nossa matriz não é exatamente triangular, então precisamos fazer algumas manobras para deixar ela nesse formato.
Passo 4
Vamos tentar eliminar o elemento C' = 1 & 0 & a - b & 0 0 & 1 & b & 0 0 & 0 & c & 0 0 & 0 & d & 1 que está fora da diagonal principal na primeira linha. Para isso, podemos subtrair a segunda linha da primeira linha. Essa operação não muda o valor do determinante.
Após a operação, a matriz fica assim:
Passo 5
Agora, a matriz C'' = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & b & 0 0 & 0 & c & 0 0 & 0 & d & 1 está quase triangular. O próximo passo é eliminar o elemento na primeira linha e terceira coluna. Para isso, podemos subtrair vezes a terceira linha da primeira linha. Novamente, isso não altera o determinante.
Depois dessa operação, a matriz fica:
Passo 6
Agora, a matriz det(C'') = 1 times 1 times c times 1 = c é triangular, pois todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Como sabemos, o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.