Seja . Determinar o subespaço gerado pelo conjunto , sendo e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial e um conjunto de vetores onde , e . A tarefa é determinar o subespaço gerado por esse conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado pelos vetores é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
onde , e são escalares reais.
Passo 3
Para determinar exatamente qual subespaço é gerado por , precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, o subespaço gerado será todo o . Caso contrário, será um plano ou uma linha.
Passo 4
Vamos montar uma matriz com os vetores como colunas:
Para verificar a independência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Como o determinante é -1, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Como os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes em R^3, eles geram todo o espaço R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.
Resposta
O subespaço gerado pelo conjunto A = v1, v2, v3 é todo o espaço R^3.