Seja V=R^3. Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A=v1, v2, v3, sendo v1=(1,1,1), v2=(1,1,0) e v3=(1,0,0)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o espaço vetorial V = R^3 e um conjunto de vetores A = v1, v2, v3 onde v1 = (1,1,1), v2 = (1,1,0) e v3 = (1,0,0). A tarefa é determinar o subespaço gerado por esse conjunto de vetores. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços gerados e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o subespaço gerado pelos vetores A é o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Ou seja, qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como:
c1v1 + c2v2 + c3v3
onde c1, c2 e c3 são escalares reais.

Passo 3

Para determinar exatamente qual subespaço é gerado por A, precisamos verificar se os vetores são linearmente independentes. Se forem, o subespaço gerado será todo o R^3. Caso contrário, será um plano ou uma linha.

Passo 4

Vamos montar uma matriz com os vetores A como colunas:
M = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0
Para verificar a independência linear, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Calculando o determinante de M:
det(M) = 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 0 - 0 cdot 1) + 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) det(M) = 1 cdot 0 - 1 cdot 0 + 1 cdot (-1) = -1
Como o determinante é -1, que é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Como os vetores v1, v2 e v3 são linearmente independentes em R^3, eles geram todo o espaço R^3. Isso significa que qualquer vetor em R^3 pode ser escrito como uma combinação linear desses três vetores.

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto A = v1, v2, v3 é todo o espaço R^3.

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