Calcule os determinantes das seguintes matrizes. A=(cccc1 & 2 & 3 & 0 2 & 6 & 6 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 0 & 2 & 0 & 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o determinante da matriz . Determinantes são números que nos dizem algumas propriedades importantes da matriz, como se ela é invertível ou não. Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, vamos usar a expansão por cofatores, que é uma maneira sistemática de achar o determinante de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para calcular o determinante de uma matriz 4x4, podemos expandir usando qualquer linha ou coluna. Vamos escolher a primeira linha porque ela tem um zero, o que vai simplificar os cálculos. A matriz A = 1 & 2 & 3 & 0 2 & 6 & 6 & 1 -1 & 0 & 0 & 3 0 & 2 & 0 & 5 é:

Passo 3

O determinante de det(A) = a11C11 - a12C12 + a13C13 - a14C14 usando a expansão por cofatores na primeira linha fica assim:
Onde:
  • são os elementos da matriz.
  • são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos calcular cada cofator 6 & 6 & 1 0 & 0 & 3 2 & 0 & 5 :
  1. Cofator det = 6(0 cdot 5 - 3 cdot 0) - 6(0 cdot 5 - 3 cdot 2) + 1(0 cdot 0 - 0 cdot 2) = 0 + 36 + 0 = 36 : Removemos a primeira linha e a primeira coluna:
2 & 6 & 1 -1 & 0 & 3 0 & 0 & 5
Calculando o determinante dessa submatriz:
det = 2(0 cdot 5 - 3 cdot 0) - 6(-1 cdot 5 - 3 cdot 0) + 1(-1 cdot 0 - 0 cdot 0) = 0 + 30 + 0 = 30
Então, 2 & 6 & 1 -1 & 0 & 3 0 & 2 & 5 .
  1. Cofator det = 2(0 cdot 5 - 3 cdot 2) - 6(-1 cdot 5 - 3 cdot 0) + 1(-1 cdot 2 - 0 cdot 0) = -12 + 30 - 2 = 16 : Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
2 & 6 & 6 -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0
Calculando o determinante:
det = 2(0 cdot 0 - 0 cdot 2) - 6(-1 cdot 0 - 0 cdot 0) + 6(-1 cdot 2 - 0 cdot 0) = 0 + 0 - 12 = -12
Então, (lembre que há um sinal negativo na fórmula).
  1. Cofator : Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
Calculando o determinante:
Então, .
  1. Cofator : Removemos a primeira linha e a quarta coluna:
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos os valores dos cofatores na fórmula do determinante:
det(A) = 1 cdot 36 - 2 cdot (-30) + 3 cdot (-16) - 0 cdot (-12)
Calculando passo a passo:
det(A) = 36 + 60 - 48 + 0 = 48

Resposta

O determinante da matriz é .

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