Considere os vetores u=(-1,0,0), v=(1,3,-1) e w=(0,-1,2). Determine o produto misto [u, v, w].

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três vetores: , e . O exercício quer que a gente calcule o produto misto . Esse produto misto é uma maneira de determinar o volume do paralelepípedo formado por esses três vetores e envolve conceitos de álgebra linear, especificamente o produto escalar e o produto vetorial.

Passo 2

O produto misto [u, v, w] = u cdot (v times w) pode ser calculado usando o produto escalar entre e o produto vetorial entre e . A fórmula é:
Então, precisamos primeiro encontrar , o produto vetorial de e .

Passo 3

Para calcular o produto vetorial v times w = i & j & k v1 & v2 & v3 w1 & w2 & w3 , usamos a seguinte regra:
v times w = i(3 cdot 2 - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot 2 - (-1) cdot 0) + k(1 cdot (-1) - 3 cdot 0)
Substituindo os valores de v times w = i(6 - 1) - j(2 - 0) + k(-1 - 0) e v times w = 5i - 2j - 1k :
v times w = (5, -2, -1)
Simplificando cada componente:

Passo 4

Agora que temos u cdot (v times w) = u1 cdot a + u2 cdot b + u3 cdot c , vamos calcular o produto escalar entre u cdot (v times w) = (-1) cdot 5 + 0 cdot (-2) + 0 cdot (-1) e esse resultado. O produto escalar é dado por:
u cdot (v times w) = -5 + 0 + 0 = -5
onde e . Substituindo os valores:

Resposta

O produto misto é igual a .

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