Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares: l3 x+y=1 -x+y+z=4 x-z=0

Passo 1

Beleza, temos um sistema de equações lineares assim:
3x + y = 1 -x + y + z = 4 x - z = 0
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver isso. Basicamente, vamos manipular as equações para chegar a uma forma mais simples, onde conseguimos descobrir os valores de , e . Para isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer operações nas linhas para simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o que precisamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
3 & 1 & 0 & | & 1 -1 & 1 & 1 & | & 4 1 & 0 & -1 & | & 0
Aqui, cada coluna representa os coeficientes de , , e o termo independente à direita.

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal haja apenas zeros. Para começar, vamos usar a primeira linha para eliminar o das outras linhas.
Primeiro, a linha 1 já tem 3 como coeficiente de . Vamos deixar assim.

Passo 4

Vamos eliminar o Linha 1 = 13 times Linha 1 Rightarrow 1 & 13 & 0 & | & 13 da linha 2. Para isso, vamos multiplicar a linha 1 por Linha 2 = Linha 2 + 1 times Linha 1 Rightarrow 0 & 43 & 1 & | & 133 para facilitar:
Agora, subtraímos essa nova linha 1 da linha 2:

Passo 5

Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - 1 times Linha 1 Rightarrow 0 & -13 & -1 & | & -13 da linha 3. A linha 3 já tem com coeficiente 1, então podemos subtrair a linha 1 da linha 3 multiplicada por 1:

Passo 6

Vamos simplificar as linhas 2 e 3:
Linha 2:
0 & 43 & 1 & | & 133
Linha 3:
0 & -13 & -1 & | & -13
Agora, vamos usar a linha 2 para eliminar o da linha 3.

Passo 7

Multiplicamos a linha 2 por Linha 2 = 34 times Linha 2 Rightarrow 0 & 1 & 34 & | & 134 para deixar o coeficiente de Linha 3 = Linha 3 + 13 times Linha 2 Rightarrow 0 & 0 & -14 & | & 104 igual a 1:
Agora, vamos eliminar o da linha 3. Para isso, somamos vezes a linha 2 à linha 3:

Passo 8

Agora, temos a matriz assim:
1 & 13 & 0 & | & 13 0 & 1 & 34 & | & 134 0 & 0 & -14 & | & 104
Vamos resolver de baixo para cima.
Da terceira linha:
-14z = 104 Rightarrow z = -10

Passo 9

Com y + 34(-10) = 134 y - 304 = 134 y = 134 + 304 y = 434 = 10,75 , substituímos na segunda linha para encontrar :

Passo 10

Agora, com x + 13(10,75) = 13 x + 3,5833 = 0,3333 x = 0,3333 - 3,5833 x = -3,25 e , substituímos na primeira linha para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x = -3,25 y = 10,75 z = -10

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