Use o método de eliminação de Gauss para resolver os seguintes sistemas lineares:
Passo 1
Beleza, temos um sistema de equações lineares assim:
3x + y = 1 -x + y + z = 4 x - z = 0
Vamos usar o método de eliminação de Gauss para resolver isso. Basicamente, vamos manipular as equações para chegar a uma forma mais simples, onde conseguimos descobrir os valores de , e . Para isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e fazer operações nas linhas para simplificar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema como uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor o que precisamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
Aqui, cada coluna representa os coeficientes de , , e o termo independente à direita.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular superior, onde abaixo da diagonal principal haja apenas zeros. Para começar, vamos usar a primeira linha para eliminar o das outras linhas.
Primeiro, a linha 1 já tem 3 como coeficiente de . Vamos deixar assim.
Passo 4
Vamos eliminar o Linha 1 = 13 times Linha 1 Rightarrow 1 & 13 & 0 & | & 13 da linha 2. Para isso, vamos multiplicar a linha 1 por Linha 2 = Linha 2 + 1 times Linha 1 Rightarrow 0 & 43 & 1 & | & 133 para facilitar:
Agora, subtraímos essa nova linha 1 da linha 2:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o Linha 3 = Linha 3 - 1 times Linha 1 Rightarrow 0 & -13 & -1 & | & -13 da linha 3. A linha 3 já tem com coeficiente 1, então podemos subtrair a linha 1 da linha 3 multiplicada por 1:
Passo 6
Vamos simplificar as linhas 2 e 3:
Linha 2:
0 & 43 & 1 & | & 133
Linha 3:
0 & -13 & -1 & | & -13
Agora, vamos usar a linha 2 para eliminar o da linha 3.
Passo 7
Multiplicamos a linha 2 por Linha 2 = 34 times Linha 2 Rightarrow 0 & 1 & 34 & | & 134 para deixar o coeficiente de Linha 3 = Linha 3 + 13 times Linha 2 Rightarrow 0 & 0 & -14 & | & 104 igual a 1:
Agora, vamos eliminar o da linha 3. Para isso, somamos vezes a linha 2 à linha 3: