Calcule os determinantes das seguintes matrizes.
E=(ccccx+5 & 2 & 1 & -1 0 & x+3 & 4 & -2 0 & 0 & x-3 & 4 0 & 0 & 0 & x+2)

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, mais especificamente o cálculo de determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre as propriedades dos determinantes, especialmente quando a matriz tem uma forma específica, como a triangular.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz E = x+5 & 2 & 1 & -1 0 & x+3 & 4 & -2 0 & 0 & x-3 & 4 0 & 0 & 0 & x+2 :
Note que todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Isso significa que é uma matriz triangular superior.

Passo 3

Uma propriedade muito útil das matrizes triangulares (superior ou inferior) é que o determinante delas pode ser facilmente calculado simplesmente multiplicando os elementos que estão na diagonal principal. Ou seja, se uma matriz é triangular, o determinante é o produto dos elementos da diagonal.

Passo 4

Aplicando essa propriedade à nossa matriz , identificamos os elementos na diagonal principal:
  • Primeiro elemento:
  • Segundo elemento:
  • Terceiro elemento:
  • Quarto elemento:

Passo 5

Agora, multiplicamos esses elementos para encontrar o determinante de det(E) = (x + 5) times (x + 3) times (x - 3) times (x + 2) :

Resposta

O determinante da matriz det(E) = (x + 5)(x + 3)(x - 3)(x + 2) é:

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