Determine os valores de x para os quais a matriz C=(cccx-1 & 0 & 4 0 & x+3 & 0 1 & 0 & x-4) é não inversível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz não é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para uma matriz ser inversível, o seu determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz e ver quando ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz C = x-1 & 0 & 4 0 & x+3 & 0 1 & 0 & x-4 para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é:
det(C) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde os elementos da matriz são:
a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso, substituindo os valores:
a = x-1, b = 0, c = 4
d = 0, e = x+3, f = 0
g = 1, h = 0, i = x-4

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante:
det(C) = (x-1)[(x+3)(x-4) - (0)(0)] - 0[(0)(x-4) - (0)(1)] + 4[(0)(0) - (x+3)(1)]
Simplificando:
det(C) = (x-1)( (x+3)(x-4) ) + 4(- (x+3))

Passo 5

Agora, vamos calcular (x+3)(x-4) = x^2 - 4x + 3x - 12 = x^2 - x - 12 :
det(C) = (x-1)(x^2 - x - 12) - 4(x+3)
Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 6

Vamos expandir o primeiro termo:
(x-1)(x^2 - x - 12) = x(x^2 - x - 12) - 1(x^2 - x - 12) = x^3 - x^2 - 12x - x^2 + x + 12
Simplificando:
x^3 - 2x^2 - 11x + 12
Agora, subtraindo x^3 - 2x^2 - 11x + 12 - 4x - 12 = x^3 - 2x^2 - 15x :

Passo 7

Ficamos com o determinante:
det(C) = x^3 - 2x^2 - 15x
Queremos saber quando a matriz não é inversível, ou seja, quando o determinante é igual a zero:
x^3 - 2x^2 - 15x = 0

Passo 8

Vamos fatorar a equação:
x(x^2 - 2x - 15) = 0
Agora, resolvemos cada fator:
  1. x = 2 pm raiz4 + 602 = 2 pm raiz642 = 2 pm 82
  2. x = 102 = 5 ou x = -62 = -3
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então:

Resposta

Os valores de para os quais a matriz não é inversível são , e .

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