Determine os valores de para os quais a matriz é não inversível.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir para quais valores de a matriz não é inversível. Isso está relacionado ao conteúdo de matrizes e determinantes. Para uma matriz ser inversível, o seu determinante precisa ser diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante da matriz e ver quando ele é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz para facilitar:

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz 3x3. A fórmula é:
Onde os elementos da matriz são:
No nosso caso, substituindo os valores:

Passo 4

Aplicando a fórmula do determinante:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
Substituindo de volta na expressão do determinante:

Passo 6

Vamos expandir o primeiro termo:
Simplificando:
Agora, subtraindo :

Passo 7

Ficamos com o determinante:
Queremos saber quando a matriz não é inversível, ou seja, quando o determinante é igual a zero:

Passo 8

Vamos fatorar a equação:
Agora, resolvemos cada fator:
Resolvendo a segunda equação quadrática:
Então:

Resposta

Os valores de para os quais a matriz não é inversível são , e .

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Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Calcule os determinantes das seguintes matrizes.
Dadas as matrizes , e , calcule.
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Dadas as matrizes , e , calcule.
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