Supondo as matrizes A, B, C e D são quadradas de ordem n e inversíveis, e In a matriz identidade de ordem n. Resolva as equações matriciais na variável X.
A cdot X cdot B^T+C=D

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá quatro matrizes quadradas de ordem A cdot X cdot B^T + C = D : , , e , todas inversíveis. A gente precisa resolver a equação matricial para encontrar a matriz na seguinte expressão:
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre matrizes e suas inversas, para chegar na solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar o termo que tem o A cdot X cdot B^T = D - C . Para isso, subtraímos de ambos os lados da equação:
Agora, temos igual a .

Passo 3

Nosso objetivo é isolar o A^-1 cdot A cdot X cdot B^T = A^-1 cdot (D - C) . Sabemos que, se multiplicarmos uma matriz pela sua inversa, ela vira a matriz identidade In cdot X cdot B^T = A^-1 cdot (D - C) . Então, vamos multiplicar ambos os lados da equação pela inversa de X cdot B^T = A^-1 cdot (D - C) à esquerda para cancelar o :
Como , isso simplifica para:
E , então:

Passo 4

Agora, vamos eliminar o X cdot B^T cdot (B^T)^-1 = A^-1 cdot (D - C) cdot (B^T)^-1 que está multiplicando o X cdot In = A^-1 cdot (D - C) cdot (B^T)^-1 à direita. Para isso, multiplicamos ambos os lados pela inversa de X = A^-1 cdot (D - C) cdot (B^T)^-1 à direita:
Como , temos:
E , então:

Resposta

A solução para X = A^-1 cdot (D - C) cdot (B^T)^-1 é:

Exercícios relacionados