Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz usando o Método de Gauss-Jordan, que é uma técnica de operações elementares de linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade, e então aplicar as operações para transformar na identidade. No final, o que estava na identidade vai virar a inversa de .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada. Isso significa que colocamos a matriz e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz maior. A matriz identidade para uma matriz 4x4 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz augmentada, que é , na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha, que incluem:
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Trocar duas linhas de lugar.
Vamos começar com o primeiro elemento da primeira coluna já sendo 1, o que é ótimo!
Passo 4
Vamos eliminar o 3 que está na posição (3,1), abaixo do 1 da primeira posição. Para isso, vamos substituir a terceira linha () pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha ():
Fazendo isso:
A matriz fica:
Passo 5
Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Atualmente, está 4. Para conseguir isso, vamos multiplicar a segunda linha () por :
Fazendo isso:
A matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos eliminar os outros elementos da segunda coluna para que apenas o (2,2) seja 1. Começando pela primeira linha (), queremos eliminar o 3 na posição (1,2). Para isso, fazemos:
Fazendo isso:
Agora, para a terceira linha (), que tem -7 na posição (3,2), fazemos:
Fazendo isso:
E para a quarta linha (), que tem -1 na posição (4,2), fazemos:
Fazendo isso:
A matriz agora fica:
Passo 7
Vamos agora para a terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja 1. Atualmente, está . Para conseguir isso, vamos multiplicar a terceira linha () por :
Fazendo isso:
A matriz fica:
Passo 8
Agora, vamos eliminar os outros elementos da terceira coluna para que apenas o (3,3) seja 1. Começando pela primeira linha (), que tem na posição (1,3):
Fazendo isso:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
Para a segunda linha (), que tem na posição (2,3):
Fazendo isso:
Simplificando:
Para a quarta linha (), que tem na posição (4,3):
Fazendo isso:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
A matriz agora fica:
Passo 9
Agora, vamos tratar da quarta coluna. Queremos que o elemento (4,4) seja 1. Atualmente, está . Para isso, vamos multiplicar a quarta linha () por :
Fazendo isso:
Simplificando:
A matriz fica:
Passo 10
Finalmente, vamos eliminar os outros elementos da quarta coluna para que apenas o (4,4) seja 1. Começando pela primeira linha ():
Fazendo isso:
Simplificando os cálculos:
Fazendo os mesmos passos para a segunda linha () e terceira linha ():
Após realizar essas operações, teremos a matriz identidade do lado esquerdo e a matriz inversa de no lado direito.