Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
D=(cccc1 & 3 & 0 & -1 0 & 4 & 1 & 4 3 & 2 & 2 & 0 0 & -1 & 1 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz usando o Método de Gauss-Jordan, que é uma técnica de operações elementares de linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade, e então aplicar as operações para transformar na identidade. No final, o que estava na identidade vai virar a inversa de .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada. Isso significa que colocamos a matriz I = (cccc 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz maior. A matriz identidade [cccc|cccc 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] para uma matriz 4x4 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz augmentada, que é , na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha, que incluem:
  1. Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
  2. Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
  3. Trocar duas linhas de lugar.
Vamos começar com o primeiro elemento da primeira coluna já sendo 1, o que é ótimo!

Passo 4

Vamos eliminar o 3 que está na posição (3,1), abaixo do 1 da primeira posição. Para isso, vamos substituir a terceira linha ( L3 = L3 - 3 times L1 ) pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha ( L3 = [3 - 3(1), 2 - 3(3), 2 - 3(0), 0 - 3(-1) | 0 - 3(1), 0 - 3(0), 1 - 3(0), 0 - 3(0)] = [0, -7, 2, 3 | -3, 0, 1, 0] ):
[cccc|cccc 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -7 & 2 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Fazendo isso:
A matriz fica:

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Atualmente, está 4. Para conseguir isso, vamos multiplicar a segunda linha ( L2 = 14L2 ) por L2 = [0, 1, 14, 1 | 0, 14, 0, 0] :
[cccc|cccc 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 14 & 1 & 0 & 14 & 0 & 0 0 & -7 & 2 & 3 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Fazendo isso:
A matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar os outros elementos da segunda coluna para que apenas o (2,2) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 - 3 times L2 ), queremos eliminar o 3 na posição (1,2). Para isso, fazemos:
L1 = [1, 3 - 3(1), 0 - 3(14), -1 - 3(1) | 1 - 3(0), 0 - 3(14), 0 - 3(0), 0 - 3(0)] = [1, 0, -34, -4 | 1, -34, 0, 0]
Fazendo isso:
L3 = L3 + 7 times L2
Agora, para a terceira linha ( L3 = [0, -7 + 7(1), 2 + 7(14), 3 + 7(1) | -3 + 7(0), 0 + 7(14), 1 + 7(0), 0 + 7(0)] = [0, 0, 114, 10 | -3, 74, 1, 0] ), que tem -7 na posição (3,2), fazemos:
L4 = L4 + 1 times L2
Fazendo isso:
L4 = [0, -1 + 1(1), 1 + 1(14), 1 + 1(1) | 0 + 1(0), 0 + 1(14), 0 + 1(0), 1 + 1(0)] = [0, 0, 54, 2 | 0, 14, 0, 1]
E para a quarta linha ( [cccc|cccc 1 & 0 & -34 & -4 & 1 & -34 & 0 & 0 0 & 1 & 14 & 1 & 0 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & 114 & 10 & -3 & 74 & 1 & 0 0 & 0 & 54 & 2 & 0 & 14 & 0 & 1 ] ), que tem -1 na posição (4,2), fazemos:
Fazendo isso:
A matriz agora fica:

Passo 7

Vamos agora para a terceira coluna. Queremos que o elemento (3,3) seja 1. Atualmente, está L3 = 411L3 . Para conseguir isso, vamos multiplicar a terceira linha ( L3 = [0, 0, 1, 4011 | -1211, 711, 411, 0] ) por [cccc|cccc 1 & 0 & -34 & -4 & 1 & -34 & 0 & 0 0 & 1 & 14 & 1 & 0 & 14 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 4011 & -1211 & 711 & 411 & 0 0 & 0 & 54 & 2 & 0 & 14 & 0 & 1 ] :
Fazendo isso:
A matriz fica:

Passo 8

Agora, vamos eliminar os outros elementos da terceira coluna para que apenas o (3,3) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 + 34 times L3 ), que tem L1 = [1, 0, 0, -4 + 34 times 4011 | 1 + 34 times -1211, -34 + 34 times 711, 0 + 34 times 411, 0 + 34 times 0] na posição (1,3):
L1 = [1, 0, 0, -4 + 12044 | 1 - 3644, -34 + 2144, 1244, 0] = [1, 0, 0, -11644 | 844, -3344, 1244, 0]
Fazendo isso:
L1 = [1, 0, 0, -2911 | 211, -34, 311, 0]
Simplificando:
L2 = L2 - 14 times L3
Simplificando ainda mais:
L2 = [0, 1, 0, 1 - 14 times 4011 | 0 - 14 times -1211, 14 - 14 times 711, 0 - 14 times 411, 0 - 14 times 0]
Para a segunda linha ( L2 = [0, 1, 0, 1 - 1011 | 311, 1144, -111, 0] ), que tem L4 = L4 - 54 times L3 na posição (2,3):
L4 = [0, 0, 0, 2 - 54 times 4011 | 0 - 54 times -1211, 14 - 54 times 711, 0 - 54 times 411, 1 - 54 times 0]
Fazendo isso:
L4 = [0, 0, 0, 2 - 20044 | 6044, 1144 - 3544, -2044, 1] = [0, 0, 0, -11244 | 6044, -2444, -2044, 1]
Simplificando:
L4 = [0, 0, 0, -2811 | 1511, -611, -511, 1]
Para a quarta linha ( [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -2911 & 211 & -34 & 311 & 0 0 & 1 & 0 & 111 & 311 & 1144 & -111 & 0 0 & 0 & 1 & 4011 & -1211 & 711 & 411 & 0 0 & 0 & 0 & -2811 & 1511 & -611 & -511 & 1 ] ), que tem na posição (4,3):
Fazendo isso:
Simplificando:
Simplificando ainda mais:
A matriz agora fica:

Passo 9

Agora, vamos tratar da quarta coluna. Queremos que o elemento (4,4) seja 1. Atualmente, está L4 = -1128L4 . Para isso, vamos multiplicar a quarta linha ( L4 = [0, 0, 0, 1 | -1528, 628, 528, -1128] ) por L4 = [0, 0, 0, 1 | -1528, 314, 528, -1128] :
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & -2911 & 211 & -34 & 311 & 0 0 & 1 & 0 & 111 & 311 & 1144 & -111 & 0 0 & 0 & 1 & 4011 & -1211 & 711 & 411 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & -1528 & 314 & 528 & -1128 ]
Fazendo isso:
Simplificando:
A matriz fica:

Passo 10

Finalmente, vamos eliminar os outros elementos da quarta coluna para que apenas o (4,4) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 + 2911 times L4 ):
L1 = [1, 0, 0, 0 | 211 + 2911 times -1528, -34 + 2911 times 314, 311 + 2911 times 528, 0 + 2911 times -1128]
Fazendo isso:
L1 = [1, 0, 0, 0 | 211 - 435308, -34 + 87154, 311 + 145308, -2928]
Simplificando os cálculos:
L2 = L2 - 111 times L4
Fazendo os mesmos passos para a segunda linha ( L3 = L3 - 4011 times L4 ) e terceira linha ( ):
Após realizar essas operações, teremos a matriz identidade do lado esquerdo e a matriz inversa de no lado direito.

Resposta

A matriz inversa de D^-1 = (cccc 211 & -34 & 311 & -2928 311 & 1144 & -111 & 128 -1211 & 711 & 411 & 528 -1528 & 314 & 528 & -1128 ) é:

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