Calcule a matriz inversa das seguintes matrizes, usando as operações elementares sobre a matriz, isto é o Método de Gauss-Jordan.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a matriz inversa da matriz usando o Método de Gauss-Jordan, que é uma técnica de operações elementares de linha. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde aprendemos sobre matrizes e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar montar uma matriz aumentada com e a matriz identidade, e então aplicar as operações para transformar na identidade. No final, o que estava na identidade vai virar a inversa de .
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz aumentada. Isso significa que colocamos a matriz I = (cccc 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 ) e a matriz identidade lado a lado, formando uma matriz maior. A matriz identidade [cccc|cccc 1 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ] para uma matriz 4x4 é:
Então, a matriz aumentada fica assim:
Passo 3
Agora, o objetivo é transformar a parte da esquerda dessa matriz augmentada, que é , na matriz identidade. Para isso, vamos usar operações de linha, que incluem:
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair múltiplos de uma linha a outra linha.
Trocar duas linhas de lugar.
Vamos começar com o primeiro elemento da primeira coluna já sendo 1, o que é ótimo!
Passo 4
Vamos eliminar o 3 que está na posição (3,1), abaixo do 1 da primeira posição. Para isso, vamos substituir a terceira linha ( L3 = L3 - 3 times L1 ) pela terceira linha menos 3 vezes a primeira linha ( L3 = [3 - 3(1), 2 - 3(3), 2 - 3(0), 0 - 3(-1) | 0 - 3(1), 0 - 3(0), 1 - 3(0), 0 - 3(0)] = [0, -7, 2, 3 | -3, 0, 1, 0] ):
Vamos agora focar na segunda coluna. Queremos que o elemento (2,2) seja 1. Atualmente, está 4. Para conseguir isso, vamos multiplicar a segunda linha ( L2 = 14L2 ) por L2 = [0, 1, 14, 1 | 0, 14, 0, 0] :
Agora, vamos eliminar os outros elementos da segunda coluna para que apenas o (2,2) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 - 3 times L2 ), queremos eliminar o 3 na posição (1,2). Para isso, fazemos:
Agora, vamos eliminar os outros elementos da terceira coluna para que apenas o (3,3) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 + 34 times L3 ), que tem L1 = [1, 0, 0, -4 + 34 times 4011 | 1 + 34 times -1211, -34 + 34 times 711, 0 + 34 times 411, 0 + 34 times 0] na posição (1,3):
Finalmente, vamos eliminar os outros elementos da quarta coluna para que apenas o (4,4) seja 1. Começando pela primeira linha ( L1 = L1 + 2911 times L4 ):
L1 = [1, 0, 0, 0 | 211 + 2911 times -1528, -34 + 2911 times 314, 311 + 2911 times 528, 0 + 2911 times -1128]