Determine se o espaço das funções polinomiais onde , é um espaço vetorial respeito as seguintes operações.
Soma:
Produto por constante inteira : , .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto das funções polinomiais , onde é um número natural, forma um espaço vetorial com as operações de soma e produto por constante inteira que foram definidas. Isso envolve entender os conceitos de espaço vetorial e conferir se essas operações respeitam as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalar de maneira que algumas propriedades sejam satisfeitas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios em .
Passo 3
Vamos começar verificando se a soma definida realmente mantém o conjunto dentro de . Temos dois polinômios e com grau no máximo . Ao somarmos, cada coeficiente de em é somado ao coeficiente correspondente em , mantendo o grau máximo . Então, a soma também é um polinômio de grau no máximo , ou seja, continua em .
Passo 4
Agora, vamos olhar para o produto por constante inteira. A definição dada é . Aqui, ao invés de multiplicar cada coeficiente por , estamos elevando cada termo a uma potência maior. Isso muda a estrutura do polinômio, aumentando seu grau de para .
Passo 5
Vamos checar se as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Uma delas é a existência de um elemento neutro para a soma, que seria o polinômio zero. Como a soma de dois polinômios de resulta em outro polinômio de , o elemento neutro está presente.
Passo 6
Outra propriedade importante é a existência de inversos aditivos. Dado um polinômio , existe um polinômio tal que . Como estamos somando coeficientes, isso é válido e os inversos aditivos existem dentro de .
Passo 7
Vamos agora verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Normalmente, esperamos que . Mas com a definição dada, quando multiplicamos por , estamos alterando as potências dos termos, o que pode não distribuir corretamente sobre a soma dos polinômios.
Passo 8
De fato, se multiplicarmos a soma por segundo a definição, teremos com cada termo elevado a potências adicionais. Já multiplicar individualmente e por e somar resulta em um polinômio com termos de diferentes potências, o que não é igual a multiplicar a soma diretamente.
Passo 9
Isso indica que a distribuição não está funcionando como deveria para um espaço vetorial. Além disso, a multiplicação por constante está aumentando o grau do polinômio, podendo sair de se .
Passo 10
Por causa dessas inconsistências, podemos concluir que com as operações definidas, não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Especificamente, a operação de multiplicação por constante não está adequada para manter a estrutura de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto das funções polinomiais com as operações de soma e produto por constante inteira definidas não constitui um espaço vetorial.