Determine se o espaço das funções polinomiais Pn onde n in N, é um espaço vetorial respeito as seguintes operações.
  • Soma: P(x)=a0+a1 x+a2 x^2+ldots an x^n, Q(x)=b0+b1 x+b2 x^2+ldots bn x^n in Pn Rightarrow P(x)+Q(x)=(a0+b0)+(a1+b1) x+(a2+b2) x^2+ldots(an+bn) x^n ;
  • Produto por constante inteira : P(x)=a0+a1 x+a2 x^2+ldots an x^n in Pn, k in N Rightarrow k cdot P(x)=a0 x^k+a1 x^k+1+a2 x^k+2+ldots an x^k+1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto das funções polinomiais , onde é um número natural, forma um espaço vetorial com as operações de soma e produto por constante inteira que foram definidas. Isso envolve entender os conceitos de espaço vetorial e conferir se essas operações respeitam as propriedades necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalar de maneira que algumas propriedades sejam satisfeitas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios em .

Passo 3

Vamos começar verificando se a soma definida realmente mantém o conjunto dentro de . Temos dois polinômios e com grau no máximo . Ao somarmos, cada coeficiente de em é somado ao coeficiente correspondente em , mantendo o grau máximo . Então, a soma também é um polinômio de grau no máximo , ou seja, continua em .

Passo 4

Agora, vamos olhar para o produto por constante inteira. A definição dada é . Aqui, ao invés de multiplicar cada coeficiente por , estamos elevando cada termo a uma potência maior. Isso muda a estrutura do polinômio, aumentando seu grau de para .

Passo 5

Vamos checar se as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Uma delas é a existência de um elemento neutro para a soma, que seria o polinômio zero. Como a soma de dois polinômios de resulta em outro polinômio de , o elemento neutro está presente.

Passo 6

Outra propriedade importante é a existência de inversos aditivos. Dado um polinômio , existe um polinômio tal que . Como estamos somando coeficientes, isso é válido e os inversos aditivos existem dentro de .

Passo 7

Vamos agora verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Normalmente, esperamos que . Mas com a definição dada, quando multiplicamos por , estamos alterando as potências dos termos, o que pode não distribuir corretamente sobre a soma dos polinômios.

Passo 8

De fato, se multiplicarmos a soma por segundo a definição, teremos com cada termo elevado a potências adicionais. Já multiplicar individualmente e por e somar resulta em um polinômio com termos de diferentes potências, o que não é igual a multiplicar a soma diretamente.

Passo 9

Isso indica que a distribuição não está funcionando como deveria para um espaço vetorial. Além disso, a multiplicação por constante está aumentando o grau do polinômio, podendo sair de se .

Passo 10

Por causa dessas inconsistências, podemos concluir que com as operações definidas, não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Especificamente, a operação de multiplicação por constante não está adequada para manter a estrutura de espaço vetorial.

Resposta

O conjunto das funções polinomiais com as operações de soma e produto por constante inteira definidas não constitui um espaço vetorial.

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