Determine se o espaço das funções polinomiais
onde
, é um espaço vetorial respeito as seguintes operações.
- Soma:
- Produto por constante inteira :
,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto das funções polinomiais
, onde
é um número natural, forma um espaço vetorial com as operações de soma e produto por constante inteira que foram definidas. Isso envolve entender os conceitos de espaço vetorial e conferir se essas operações respeitam as propriedades necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto onde a gente pode somar vetores e multiplicar por escalar de maneira que algumas propriedades sejam satisfeitas, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, os “vetores” são os polinômios em
.
Passo 3
Vamos começar verificando se a soma definida realmente mantém o conjunto dentro de
. Temos dois polinômios
e
com grau no máximo
. Ao somarmos, cada coeficiente de
em
é somado ao coeficiente correspondente em
, mantendo o grau máximo
. Então, a soma
também é um polinômio de grau no máximo
, ou seja, continua em
.
Passo 4
Agora, vamos olhar para o produto por constante inteira. A definição dada é
. Aqui, ao invés de multiplicar cada coeficiente por
, estamos elevando cada termo a uma potência maior. Isso muda a estrutura do polinômio, aumentando seu grau de
para
.
Passo 5
Vamos checar se as propriedades de um espaço vetorial são satisfeitas com essas operações. Uma delas é a existência de um elemento neutro para a soma, que seria o polinômio zero. Como a soma de dois polinômios de
resulta em outro polinômio de
, o elemento neutro está presente.
Passo 6
Outra propriedade importante é a existência de inversos aditivos. Dado um polinômio
, existe um polinômio
tal que
. Como estamos somando coeficientes, isso é válido e os inversos aditivos existem dentro de
.
Passo 7
Vamos agora verificar a compatibilidade da multiplicação por escalares. Normalmente, esperamos que
. Mas com a definição dada, quando multiplicamos por
, estamos alterando as potências dos termos, o que pode não distribuir corretamente sobre a soma dos polinômios.
Passo 8
De fato, se multiplicarmos a soma
por
segundo a definição, teremos
com cada termo elevado a
potências adicionais. Já multiplicar individualmente
e
por
e somar resulta em um polinômio com termos de diferentes potências, o que não é igual a multiplicar a soma diretamente.
Passo 9
Isso indica que a distribuição não está funcionando como deveria para um espaço vetorial. Além disso, a multiplicação por constante está aumentando o grau do polinômio, podendo sair de
se
.
Passo 10
Por causa dessas inconsistências, podemos concluir que com as operações definidas,
não satisfaz todos os axiomas de um espaço vetorial. Especificamente, a operação de multiplicação por constante não está adequada para manter a estrutura de espaço vetorial.
Resposta
O conjunto das funções polinomiais
com as operações de soma e produto por constante inteira definidas não constitui um espaço vetorial.