Calcule os determinantes das seguintes matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz , que é uma matriz 4x4. Isso faz parte do estudo de matemática linear, especificamente determinantes. Para isso, vamos precisar saber como expandir determinantes usando cofatores e como calcular determinantes de matrizes menores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz :
Perceba que na primeira coluna, temos três zeros. Isso é ótimo porque facilita a expansão do determinante usando os cofatores nessa coluna, já que os zeros simplificam os cálculos.

Passo 3

Vamos expandir o determinante de pela primeira coluna. A fórmula para a expansão por cofatores é:
Como estamos expandindo pela primeira coluna ( ) e só o primeiro elemento dessa coluna é diferente de zero ( ), os outros termos serão zero. Então, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz menor , que é a matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a primeira coluna de :
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 5

Para calcular o determinante de , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores novamente. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 6

Voltando ao cálculo do determinante de :

Resposta

O determinante da matriz é .

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d) or
Encontre os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade de ordem 3 e é dada por: .
NOTA: Estes valores de são conhecidos em Álgebra Linear como auto-valores da matriz .
Resposta: Sol .