Calcule os determinantes das seguintes matrizes.
D=(cccc2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz , que é uma matriz 4x4. Isso faz parte do estudo de matemática linear, especificamente determinantes. Para isso, vamos precisar saber como expandir determinantes usando cofatores e como calcular determinantes de matrizes menores. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz D = 2 & 5 & 7 & -1 0 & 0 & 2 & -2 0 & 3 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 1 :
Perceba que na primeira coluna, temos três zeros. Isso é ótimo porque facilita a expansão do determinante usando os cofatores nessa coluna, já que os zeros simplificam os cálculos.

Passo 3

Vamos expandir o determinante de det(D) = sumi=1^n (-1)^i+j cdot aij cdot det(Mij) pela primeira coluna. A fórmula para a expansão por cofatores é:
det(D) = (-1)^1+1 cdot 2 cdot det(M11)
Como estamos expandindo pela primeira coluna ( det(D) = 2 cdot det(M11) ) e só o primeiro elemento dessa coluna é diferente de zero ( ), os outros termos serão zero. Então, temos:
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a matriz menor M11 = 0 & 2 & -2 3 & -3 & 4 1 & 2 & 1 , que é a matriz que sobra quando removemos a primeira linha e a primeira coluna de :
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3x3.

Passo 5

Para calcular o determinante de det(M11) = 0 cdot (-3) cdot 1 + 2 cdot 4 cdot 1 + (-2) cdot 3 cdot 2 - [(-2) cdot (-3) cdot 1 + 0 cdot 4 cdot 2 + 2 cdot 3 cdot 1] , podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores novamente. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
= 0 + 8 + (-12) - [6 + 0 + 6] = (0 + 8 - 12) - (6 + 0 + 6) = (-4) - 12 = -16
Calculando cada termo:
Então, .

Passo 6

Voltando ao cálculo do determinante de det(D) = 2 cdot det(M11) = 2 cdot (-16) = -32 :

Resposta

O determinante da matriz é .

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