Encontre os valores de x que satisfazem a equação det(x I3-A3)=0, onde I3 é a matriz identidade de ordem 3 e A3 é dada por: A=(ccc-3 & 1 & -3 20 & 3 & 10 2 & -2 & 4).
NOTA: Estes valores de x são conhecidos em Álgebra Linear como auto-valores da matriz A3.
Resposta: Sol =-2,3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que satisfazem a equação . Isso está relacionado aos auto-valores de uma matriz, que são números que nos dizem muito sobre as propriedades da matriz. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que tornam esse determinante igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz I3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 . A matriz identidade x I3 = x & 0 & 0 0 & x & 0 0 & 0 & x é uma matriz A3 = -3 & 1 & -3 20 & 3 & 10 2 & -2 & 4 com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
x I3 - A3 = x - (-3) & 0 - 1 & 0 - (-3) 0 - 20 & x - 3 & 0 - 10 0 - 2 & 0 - (-2) & x - 4 = x + 3 & -1 & 3 -20 & x - 3 & -10 -2 & 2 & x - 4
Multiplicando por :
Agora, subtraímos a matriz :
Então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(x I3 - A3) = det x + 3 & -1 & 3 -20 & x - 3 & -10 -2 & 2 & x - 4
Para calcular o determinante de uma matriz det = (x + 3)(x - 3)(x - 4) + (-1)(-10)(-2) + 3(-20)(2) - 3(x - 3)(-2) - (-1)(-20)(x - 4) - (x + 3)(-10)(2) , podemos usar a regra de Sarrus ou o método de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
det = (x + 3)(x - 3)(x - 4) + (-1)(-10)(-2) + 3(-20)(2) - 3(x - 3)(-2) - (-1)(-20)(x - 4) - (x + 3)(-10)(2)
Simplificando cada termo:
det = (x + 3)(x - 3)(x - 4) - 20 - 120 + 6(x - 3) - 20(x - 4) + 20(x + 3)

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos (x + 3)(x - 3) = x^2 - 9 :
det = (x^2 - 9)(x - 4) - 20 - 120 + 6x - 18 - 20x + 80 + 20x + 60
Então, a expressão fica:
x^3 - 4x^2 - 9x + 36
Agora, multiplicamos det = x^3 - 4x^2 - 9x + 36 - 20 - 120 + 6x - 18 - 20x + 80 + 20x + 60 :
det = x^3 - 4x^2 + (-9x + 6x - 20x + 20x) + (36 - 20 - 120 - 18 + 80 + 60)
Substituindo de volta:
det = x^3 - 4x^2 - 3x - 2
Agora, vamos somar os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, temos a equação característica:
x^3 - 4x^2 - 3x - 2 = 0
Para encontrar os valores de 1 - 4 - 3 - 2 = -8 neq 0 que satisfazem essa equação, vamos tentar encontrar as raízes. Podemos usar o método de tentativa e erro para encontrar fatores inteiros.
Testando -1 - 4 + 3 - 2 = -4 neq 0 :
8 - 16 - 6 - 2 = -16 neq 0
Testando -8 - 16 + 6 - 2 = -20 neq 0 :
27 - 36 - 9 - 2 = -20 neq 0
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não encontramos uma raiz inteira facilmente, então vamos tentar fatorar a equação.

Passo 6

Vamos reescrever a equação:
x^3 - 4x^2 - 3x - 2 = 0
Podemos tentar fatorar por agrupamento:
(x^3 - 4x^2) + (-3x - 2) = x^2(x - 4) -1(3x + 2)
Não está claro como fatorar dessa forma, então podemos usar a regra de Ruffini para encontrar possíveis raízes.
Entretanto, como o exercício já nos dá a solução (-2)^3 - 4(-2)^2 - 3(-2) - 2 = -8 - 16 + 6 - 2 = -20 neq 0 , vamos verificar se esses valores satisfazem a equação característica.
Para 3^3 - 4(3)^2 - 3(3) - 2 = 27 - 36 - 9 - 2 = -20 neq 0 :
Para :
Parece que há um equívoco na solução fornecida. A equação característica não é satisfeita por e .

Resposta

Parece que houve um erro na solução proposta. Os valores e não satisfazem a equação característica . Recomendo revisar os cálculos ou utilizar métodos numéricos para encontrar os auto-valores corretos da matriz .

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