Encontre os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade de ordem 3 e é dada por: .
NOTA: Estes valores de são conhecidos em Álgebra Linear como auto-valores da matriz .
Resposta: Sol .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de que satisfazem a equação . Isso está relacionado aos auto-valores de uma matriz, que são números que nos dizem muito sobre as propriedades da matriz. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e encontrar os valores de que tornam esse determinante igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz . A matriz identidade é uma matriz com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições:
Multiplicando por :
Agora, subtraímos a matriz :
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Para calcular o determinante de uma matriz , podemos usar a regra de Sarrus ou o método de co-fatores. Vamos usar a regra de Sarrus para facilitar:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Primeiro, multiplicamos :
Então, a expressão fica:
Agora, multiplicamos :
Substituindo de volta:
Agora, vamos somar os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, temos a equação característica:
Para encontrar os valores de que satisfazem essa equação, vamos tentar encontrar as raízes. Podemos usar o método de tentativa e erro para encontrar fatores inteiros.
Testando :
Testando :
Testando :
Testando :
Testando :
Parece que não encontramos uma raiz inteira facilmente, então vamos tentar fatorar a equação.
Passo 6
Vamos reescrever a equação:
Podemos tentar fatorar por agrupamento:
Não está claro como fatorar dessa forma, então podemos usar a regra de Ruffini para encontrar possíveis raízes.
Entretanto, como o exercício já nos dá a solução , vamos verificar se esses valores satisfazem a equação característica.
Para :
Para :
Parece que há um equívoco na solução fornecida. A equação característica não é satisfeita por e .
Resposta
Parece que houve um erro na solução proposta. Os valores e não satisfazem a equação característica . Recomendo revisar os cálculos ou utilizar métodos numéricos para encontrar os auto-valores corretos da matriz .