Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo do determinante.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
Nossa meta é simplificar essa matriz até que ela fique mais fácil de calcular o determinante, preferencialmente transformando-a em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Para isso, vamos usar operações de linha que não mudam o valor do determinante ou que mudam de forma controlada.
Passo 3
Vamos começar manipulando a primeira coluna para criar zeros abaixo do primeiro elemento (o 3 da posição (1,1)). Para isso, podemos:
Subtrair da primeira linha da segunda linha.
Subtrair da primeira linha da terceira linha.
Subtrair a primeira linha da quarta linha.
Essas operaç��es vão ajudar a simplificar a matriz sem complicar muito o cálculo.
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos criar zeros abaixo do segundo elemento não nulo na segunda coluna. Observando a terceira e quarta linhas, temos os elementos 2 e 1 na segunda coluna. Podemos simplificar assim:
Subtrair da terceira linha da quarta linha.
Isso vai ajudar a eliminar o 1 na segunda coluna da quarta linha.
Agora, nossa matriz está quase triangular. Vamos focar na terceira coluna e criar zeros abaixo do elemento na terceira linha. Mas já temos apenas um elemento abaixo dele, que é . Para facilitar, podemos multiplicar a terceira linha por e a quarta linha por , mas isso não é necessário aqui. Podemos calcular o determinante agora.
Passo 8
Uma vez que nossa matriz está quase triangular, o determinante pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal e ajustando pelo que foi feito nas operações de linha (neste caso, as operações foram que subtrações e não alteraram o determinante).
Calculando:
Determinante = 3 times 0 times (-3) times (-43) = 3 times 0 times 9/1 = 0