Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(d) (cccc3 & 0 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 2 4 & 2 & 1 & 2 3 & 1 & 1 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 4x4. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre determinantes de matrizes. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar o cálculo do determinante.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na matriz que temos:
3 & 0 & 3 & 1 1 & 0 & 1 & 2 4 & 2 & 1 & 2 3 & 1 & 1 & -1
Nossa meta é simplificar essa matriz até que ela fique mais fácil de calcular o determinante, preferencialmente transformando-a em uma matriz triangular (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros). Para isso, vamos usar operações de linha que não mudam o valor do determinante ou que mudam de forma controlada.

Passo 3

Vamos começar manipulando a primeira coluna para criar zeros abaixo do primeiro elemento (o 3 da posição (1,1)). Para isso, podemos:
  • Subtrair da primeira linha da segunda linha.
  • Subtrair da primeira linha da terceira linha.
  • Subtrair a primeira linha da quarta linha.
Essas operaç��es vão ajudar a simplificar a matriz sem complicar muito o cálculo.

Passo 4

Aplicando essas operações:
  1. Segunda linha: 3 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 53 4 & 2 & 1 & 2 3 & 1 & 1 & -1
    3 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 53 0 & 2 & -3 & 23 3 & 1 & 1 & -1
  2. Terceira linha: 3 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 53 0 & 2 & -3 & 23 0 & 1 & -2 & -2
  3. Quarta linha:

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos criar zeros abaixo do segundo elemento não nulo na segunda coluna. Observando a terceira e quarta linhas, temos os elementos 2 e 1 na segunda coluna. Podemos simplificar assim:
  • Subtrair da terceira linha da quarta linha.
Isso vai ajudar a eliminar o 1 na segunda coluna da quarta linha.

Passo 6

Aplicando a operação:
3 & 0 & 3 & 1 0 & 0 & 0 & 53 0 & 2 & -3 & 23 0 & 0 & -12 & -43

Passo 7

Agora, nossa matriz está quase triangular. Vamos focar na terceira coluna e criar zeros abaixo do elemento na terceira linha. Mas já temos apenas um elemento abaixo dele, que é . Para facilitar, podemos multiplicar a terceira linha por e a quarta linha por , mas isso não é necessário aqui. Podemos calcular o determinante agora.

Passo 8

Uma vez que nossa matriz está quase triangular, o determinante pode ser calculado multiplicando os elementos da diagonal principal e ajustando pelo que foi feito nas operações de linha (neste caso, as operações foram que subtrações e não alteraram o determinante).
Calculando:
Determinante = 3 times 0 times (-3) times (-43) = 3 times 0 times 9/1 = 0

Resposta

O determinante da matriz dada é 0.

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