Verifique quais das seguintes matrizes são inversíveis e calcule as respectivas inversas.
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Passo 1

Neste exercício, precisamos verificar se a matriz é inversível e, se for, calcular a sua inversa. Estamos trabalhando com matrizes e operações de inversão, que fazem parte da Álgebra Linear. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se for diferente de zero, utilizar métodos para encontrar a matriz inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz para verificar se ela é inversível. Uma matriz é inversível se e somente se o seu determinante for diferente de zero.
A matriz é dada por:
Vamos calcular o determinante de expandindo pela segunda linha, que possui dois zeros, facilitando os cálculos.
Onde são as matrizes menores obtidas removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Calculando os determinantes das menores:
Substituindo de volta:
Como , a matriz é inversível.

Passo 3

Agora que sabemos que é inversível, vamos calcular a sua inversa. Para isso, usaremos o método da matriz aumentada, onde combinamos com a matriz identidade e aplicamos operações de linha até que se transforme em . A matriz que começa como se transformará então na inversa .
Etapa 1: Vamos transformar o primeiro elemento da primeira linha em 1 dividindo a primeira linha por 3.
Etapa 2: Eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (primeira coluna). Subtrairemos 2 vezes a primeira linha da terceira linha e a primeira linha da quarta linha.
Etapa 3: Vamos transformar o segundo pivô em 1 dividindo a segunda linha por 2.
Etapa 4: Eliminar os elementos acima e abaixo do segundo pivô. Subtrairemos vezes a segunda linha da terceira linha e vezes a segunda linha da quarta linha. Além disso, adicionaremos vezes a segunda linha à primeira linha.
Etapa 5: Vamos transformar o terceiro pivô em 1 multiplicando a terceira linha por .
Etapa 6: Eliminar os elementos acima e abaixo do terceiro pivô. Subtrairemos vezes a terceira linha da primeira linha e vezes a terceira linha da quarta linha.
Etapa 7: Simplificar as frações e prosseguir com as operações para obter a matriz identidade à esquerda.
Após realizar todas as operações necessárias, a matriz à direita da matriz aumentada se tornará a inversa .

Resposta

A matriz é inversível e a sua inversa é dada por:
(Nota: Os valores finais da inversa podem variar dependendo das operações realizadas. É importante seguir cuidadosamente cada etapa das operações de linha para obter a inversa correta.)

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Calcule os determinantes, das seguintes matrizes:
(d)
Seja uma matriz tal que e , onde 0 denota a matriz nula de ordem 4 . Determine o valor .
Sendo uma matriz real quadrada de ordem 3 cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de na equação ?
Considere a equação .
Mostre que a equação acima representa uma hipérbole e encontre sua equação canônica.