Sendo uma matriz real quadrada de ordem 3 cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de na equação ?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 3, ou seja, é uma matriz . Sabemos que o determinante dessa matriz é igual a 4, ou seja, . A questão quer que a gente encontre o valor de na equação .
Aqui, vamos precisar usar conceitos de determinantes de matrizes e propriedades de determinantes envolvendo multiplicação por escalar e matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, . Então, sabemos que .
Passo 3
Agora, observamos a expressão . Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante dessa nova matriz é o escalar elevado à potência da ordem da matriz, multiplicado pelo determinante da matriz original. Como é uma matriz de ordem 3, temos:
Passo 4
Em seguida, queremos calcular o determinante de . Usando a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 5
Fazendo as contas:
Portanto, .
Passo 6
A equação dada é . Substituindo o valor que encontramos:
Passo 7
Para encontrar , basta dividir ambos os lados da equação por 4: