Sendo A uma matriz real quadrada de ordem 3 cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de x na equação det(2 A A^t)=4 x ?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem 3, ou seja, é uma matriz . Sabemos que o determinante dessa matriz é igual a 4, ou seja, . A questão quer que a gente encontre o valor de na equação .
Aqui, vamos precisar usar conceitos de determinantes de matrizes e propriedades de determinantes envolvendo multiplicação por escalar e matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja, . Então, sabemos que .

Passo 3

Agora, observamos a expressão det(2 A) = 2^3 det(A) = 8 det(A) . Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante dessa nova matriz é o escalar elevado à potência da ordem da matriz, multiplicado pelo determinante da matriz original. Como é uma matriz de ordem 3, temos:

Passo 4

Em seguida, queremos calcular o determinante de det(2 A A^t) = det(2 A) cdot det(A^t) . Usando a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:
det(2 A A^t) = 8 det(A) cdot det(A^t) = 8 cdot 4 cdot 4
Substituindo os valores que já conhecemos:

Passo 5

Fazendo as contas:
8 cdot 4 cdot 4 = 128
Portanto, .

Passo 6

A equação dada é 128 = 4 x . Substituindo o valor que encontramos:

Passo 7

Para encontrar x = 1284 = 32 , basta dividir ambos os lados da equação por 4:

Resposta

O valor de é 32.

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