Sendo
uma matriz real quadrada de ordem 3 cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de
na equação
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a pergunta está nos pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem 3, ou seja, é uma matriz
. Sabemos que o determinante dessa matriz é igual a 4, ou seja,
. A questão quer que a gente encontre o valor de
na equação
.
Aqui, vamos precisar usar conceitos de determinantes de matrizes e propriedades de determinantes envolvendo multiplicação por escalar e matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz transposta é igual ao determinante da matriz original. Ou seja,
. Então, sabemos que
.
Passo 3
Agora, observamos a expressão
. Quando multiplicamos uma matriz por um escalar, o determinante dessa nova matriz é o escalar elevado à potência da ordem da matriz, multiplicado pelo determinante da matriz original. Como
é uma matriz de ordem 3, temos:
Passo 4
Em seguida, queremos calcular o determinante de
. Usando a propriedade que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes, temos:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 5
Fazendo as contas:
Portanto,
.
Passo 6
A equação dada é
. Substituindo o valor que encontramos:
Passo 7
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados da equação por 4:
Resposta
O valor de
é 32.