Calcule os determinantes a seguir:
a) D=|lllll1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 & 1|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes, que é uma ferramenta importante na álgebra linear usada para resolver sistemas de equações, encontrar inversas de matrizes, entre outros. Para resolver isso, vamos precisar aplicar métodos de expansão por cofatores e utilizar propriedades dos determinantes para simplificar nossos cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz dada:
D = 1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 1 & 1
Nos determinantes, é mais fácil trabalhar com linhas ou colunas que tenham zeros, porque isso simplifica os cálculos. Observando a matriz, a terceira coluna tem quatro zeros, o que é perfeito para a nossa estratégia. Vamos expandir o determinante pela terceira coluna.

Passo 3

A expansão por cofatores na terceira coluna significa que vamos multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator e somar os resultados. No caso da terceira coluna da matriz D, temos:
c|c E<=mento & Posição hline 0 & (1,3) 0 & (2,3) 0 & (3,3) 0 & (4,3) 1 & (5,3) çã
Como a maioria dos elementos são zeros, apenas o último elemento (5,3) vale a pena calcular, já que os demais vão multiplicar por zero e não contribuir para o resultado final.

Passo 4

Agora, vamos calcular o cofator do elemento na posição (5,3). O cofator C5,3 = (-1)^5+3 times determinante do menor é dado por:
Menor = 1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1
Onde o menor é a matriz que sobra ao remover a quinta linha e a terceira coluna da matriz D:
(-1)^8 = 1
Calculando o sinal:
C5,3 = 1 times determinante do menor
Então,

Passo 5

Agora precisamos calcular o determinante do menor 4x4:
1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 & 1
Vamos simplificar essa matriz usando operações elementares. Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na posição (4,1):
1 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 0 & 0
Agora, percebemos que a segunda linha é e a quarta linha é . Isso significa que as linhas são lineares dependentes (a quarta linha é vezes a segunda linha), o que implica que o determinante dessa matriz é zero.

Passo 6

Voltando ao cálculo do cofator:
C5,3 = 1 times 0 = 0
E como esse era o único elemento não nulo na terceira coluna, o determinante da matriz D é:
D = 0

Resposta

O determinante da matriz D é igual a 0.

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