Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5. A matéria envolvida aqui é o cálculo de determinantes, que é uma ferramenta importante na álgebra linear usada para resolver sistemas de equações, encontrar inversas de matrizes, entre outros. Para resolver isso, vamos precisar aplicar métodos de expansão por cofatores e utilizar propriedades dos determinantes para simplificar nossos cálculos.
Nos determinantes, é mais fácil trabalhar com linhas ou colunas que tenham zeros, porque isso simplifica os cálculos. Observando a matriz, a terceira coluna tem quatro zeros, o que é perfeito para a nossa estratégia. Vamos expandir o determinante pela terceira coluna.
Passo 3
A expansão por cofatores na terceira coluna significa que vamos multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator e somar os resultados. No caso da terceira coluna da matriz D, temos:
Como a maioria dos elementos são zeros, apenas o último elemento (5,3) vale a pena calcular, já que os demais vão multiplicar por zero e não contribuir para o resultado final.
Passo 4
Agora, vamos calcular o cofator do elemento na posição (5,3). O cofator C5,3 = (-1)^5+3 times determinante do menor é dado por:
Vamos simplificar essa matriz usando operações elementares. Primeiro, vamos subtrair a primeira linha da quarta linha para eliminar o 1 na posição (4,1):
Agora, percebemos que a segunda linha é e a quarta linha é . Isso significa que as linhas são lineares dependentes (a quarta linha é vezes a segunda linha), o que implica que o determinante dessa matriz é zero.
Passo 6
Voltando ao cálculo do cofator:
C5,3 = 1 times 0 = 0
E como esse era o único elemento não nulo na terceira coluna, o determinante da matriz D é: