Dada a matriz L=(lll3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 3), calcule os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar os autovalores e autovetores normalizados da matriz 3 & 1 & 1 1 & 3 & 1 1 & 1 & 3. Isso faz parte do conteúdo de álgebra linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular o polinômio característico da matriz e resolver para encontrar os autovalores. Depois, vamos usar esses autovalores para encontrar os autovetores correspondentes e normalizá-los.

Passo 2

Primeiro, para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det L - lambda I = 3 - lambda & 1 & 1 1 & 3 - lambda & 1 1 & 1 & 3 - lambda , onde é a matriz identidade e representa os autovalores. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
det(L - lambda I) = 3 - lambda & 1 & 1 1 & 3 - lambda & 1 1 & 1 & 3 - lambda
Expandindo o determinante:
(3 - lambda)[(3 - lambda)(3 - lambda) - 1 cdot 1] - 1[1(3 - lambda) - 1 cdot 1] + 1[1 cdot 1 - (3 - lambda) cdot 1]
Simplificando:
(3 - lambda)[(3 - lambda)^2 - 1] - 1[(3 - lambda) - 1] + 1[1 - (3 - lambda)]
= (3 - lambda)[(9 - 6lambda + lambda^2) - 1] - 1(2 - lambda) + 1(lambda - 2)
= (3 - lambda)(8 - 6lambda + lambda^2) - (2 - lambda) + (lambda - 2)
= (3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8) - 2 + lambda + lambda - 2
= (3 - lambda)(lambda^2 - 6lambda + 8) - 4 + 2lambda
Multiplicando:
= 3lambda^2 - 18lambda + 24 - lambda^3 + 6lambda^2 - 8lambda - 4 + 2lambda
Agrupando os termos:
-lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20

Passo 4

Agora, igualamos o determinante a zero para encontrar os autovalores:
-lambda^3 + 9lambda^2 - 24lambda + 20 = 0
Podemos multiplicar toda a equação por -1 para facilitar:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando valores possíveis, vemos que 2^3 - 9(2)^2 + 24(2) - 20 = 8 - 36 + 48 - 20 = 0 é uma raiz:
lambda^3 - 9lambda^2 + 24lambda - 20 = (lambda - 2)(lambda^2 - 7lambda + 10)
Então, podemos dividir o polinômio por lambda = 7 pm raiz49 - 402 = 7 pm 32 :
lambda = 5 e lambda = 2
Resolvendo :
Então, os outros autovalores são:
Com isso, os autovalores são e .

Passo 5

Agora vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Substituindo na equação -2v1 + v2 + v3 = 0 v1 - 2v2 + v3 = 0 v1 + v2 - 2v3 = 0 :

[
1 1 1
|v1| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3

u1 = 1raiz3 1 1 1
]
Isso nos dá o sistema de equações:
Observando, podemos ver que todas as equações são equivalentes. Podemos assumir . Então, um autovetor correspondente é .
Agora, vamos normalizar esse vetor:
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores para 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 .
Substituindo na equação v1 + v2 + v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 v1 + v2 + v3 = 0 :

[
a + b + v3 = 0 implies v3 = -a - b
a b -a - b

v2 = 1 -1 0
]
Isso nos dá o sistema de equações:
v3 = 1 1 -2
Aqui, temos duas equações independentes. Podemos expressar duas variáveis em termos da terceira. Vamos assumir |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 e u2 = 1raiz2 1 -1 0 , então:
|v3| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz1 + 1 + 4 = raiz6
Então, os autovetores são da forma u3 = 1raiz6 1 1 -2 .
Podemos escolher valores para e para obter dois vetores linearmente independentes. Por exemplo:
Para , :
Para , :
Agora, vamos normalizar esses vetores.
Primeiro, para :
Então, o autovetor normalizado é:
Segundo, para :
Então, o autovetor normalizado é:

Resposta

Os autovalores da matriz u1 = 1raiz3 1 1 1, u2 = 1raiz2 1 -1 0, u3 = 1raiz6 1 1 -2 são e .
Os autovetores normalizados correspondentes são:

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