Dada a matriz
, encontre os autovalores e autovetores normalizados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores normalizados da matriz dada:
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada
Av = lambdav , um escalar
é um autovalor se existir um vetor não nulo
tal que:
Esse vetor
é o autovetor associado a
.
Passo 3
Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
Onde
é a matriz identidade do mesmo tamanho que
.
Passo 4
Vamos montar a matriz
O - lambda I = 4 - lambda & 1 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 1 & 4 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.
Passo 5
Calculando o determinante:
Simplificando:
Passo 6
Vamos expandir
(4 - lambda)^2 - 1 = 16 - 8lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 8lambda + 15 :
Agora, substituindo de volta:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
Vamos tentar fatorar essa equação.
Passo 8
Testando possíveis raízes inteiras que são divisores de 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Vamos testar
3^3 - 12 cdot 3^2 + 45 cdot 3 - 54 = 27 - 108 + 135 - 54 = 0 :
Então,
é uma raiz. Podemos fatorar
:
Agora, resolvemos a equação quadrática
.
Passo 9
Resolvendo
lambda = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm raiz92 = 9 pm 32 usando a fórmula quadrática:
Então:
Portanto, os autovalores são
(com multiplicidade 2) e
.
Passo 10
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para
-2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos
|v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 :
[
u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )
]
Isso leva a
. Então, um autovetor é
. Para normalizar:
Então, o autovetor normalizado é:
Passo 11
Para
1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos
:
[
]
Isso nos dá a condição
. Podemos escolher dois vetores independentes que satisfaçam isso, por exemplo:
-
, , → -
, , →
Agora, vamos normalizar esses vetores.
Passo 12
Normalizando
|v2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 :
Então, o autovetor normalizado é:
Normalizando
u3 = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) :
Então, o autovetor normalizado é:
Resposta
Os autovalores da matriz
u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) são
u2 = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 ) e
u3 = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) (com multiplicidade 2). Os autovetores normalizados correspondentes são: