Dada a matriz O=(lll4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4), encontre os autovalores e autovetores normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os autovalores e autovetores normalizados da matriz dada:
O = 4 & 1 & 1 1 & 4 & 1 1 & 1 & 4
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores e autovetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são autovalores e autovetores. Para uma matriz quadrada Av = lambdav , um escalar é um autovalor se existir um vetor não nulo tal que:
Esse vetor é o autovetor associado a .

Passo 3

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação característica:
det(O - lambda I) = 0
Onde é a matriz identidade do mesmo tamanho que .

Passo 4

Vamos montar a matriz O - lambda I = 4 - lambda & 1 & 1 1 & 4 - lambda & 1 1 & 1 & 4 - lambda :
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz.

Passo 5

Calculando o determinante:
det(O - lambda I) = (4 - lambda)[(4 - lambda)(4 - lambda) - 1 cdot 1] - 1[(1)(4 - lambda) - 1 cdot 1] + 1[(1)(1) - (4 - lambda) cdot 1]
Simplificando:
= (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 1] - 1[(4 - lambda) - 1] + 1[1 - (4 - lambda)]
= (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 1] - (4 - lambda - 1) + (1 - 4 + lambda)
= (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 1] - (3 - lambda) + (lambda - 3)
= (4 - lambda)[(4 - lambda)^2 - 1] - 2(3 - lambda)

Passo 6

Vamos expandir (4 - lambda)^2 - 1 = 16 - 8lambda + lambda^2 - 1 = lambda^2 - 8lambda + 15 :
det(O - lambda I) = (4 - lambda)(lambda^2 - 8lambda + 15) - 2(3 - lambda)
Agora, substituindo de volta:
= 4lambda^2 - 32lambda + 60 - lambda^3 + 8lambda^2 - 15lambda - 6 + 2lambda
Expandindo:
= -lambda^3 + 12lambda^2 - 45lambda + 54
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
-lambda^3 + 12lambda^2 - 45lambda + 54 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por -1 para facilitar:
lambda^3 - 12lambda^2 + 45lambda - 54 = 0
Vamos tentar fatorar essa equação.

Passo 8

Testando possíveis raízes inteiras que são divisores de 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Vamos testar 3^3 - 12 cdot 3^2 + 45 cdot 3 - 54 = 27 - 108 + 135 - 54 = 0 :
lambda^3 - 12lambda^2 + 45lambda - 54 = (lambda - 3)(lambda^2 - 9lambda + 18)
Então, é uma raiz. Podemos fatorar :
Agora, resolvemos a equação quadrática .

Passo 9

Resolvendo lambda = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm raiz92 = 9 pm 32 usando a fórmula quadrática:
lambda1 = 9 + 32 = 6 lambda2 = 9 - 32 = 3
Então:
Portanto, os autovalores são (com multiplicidade 2) e .

Passo 10

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2 & 1 & 1 1 & -2 & 1 1 & 1 & -2 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos |v| = raiz1^2 + 1^2 + 1^2 = raiz3 :

[
u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 )


]
Isso leva a . Então, um autovetor é . Para normalizar:
Então, o autovetor normalizado é:

Passo 11

Para 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos :

[


]
Isso nos dá a condição . Podemos escolher dois vetores independentes que satisfaçam isso, por exemplo:
  1. , ,
  2. , ,
Agora, vamos normalizar esses vetores.

Passo 12

Normalizando |v2| = raiz1^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz2 :
u2 = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 )
Então, o autovetor normalizado é:
|v3| = raiz1^2 + 1^2 + (-2)^2 = raiz6
Normalizando u3 = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) :
Então, o autovetor normalizado é:

Resposta

Os autovalores da matriz u1 = ( 1raiz3, 1raiz3, 1raiz3 ) são u2 = ( 1raiz2, -1raiz2, 0 ) e u3 = ( 1raiz6, 1raiz6, -2raiz6 ) (com multiplicidade 2). Os autovetores normalizados correspondentes são:

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