Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre produto vetorial de dois vetores genéricos, A e B. A gente vai usar o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a calcular determinantes e produtos vetoriais, junto com algumas propriedades dele. Pra isso, vamos precisar lembrar como funciona o Levi-Civita e como aplicá-lo no cálculo do produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o símbolo de Levi-Civita, geralmente representado por epsilonijk. Ele é uma forma de indicar a direção e o sentido do produto vetorial no espaço tridimensional. Esse símbolo tem valor 1 se (i,j,k) for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se algum índice se repetir.

Passo 3

Agora, vamos lembrar como calcular o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita. Se temos dois vetores A = (A1, A2, A3) e B = (B1, B2, B3), o produto vetorial A times B pode ser escrito usando o Levi-Civita assim:
(A times B)i = epsilonijk Aj Bk
Aqui, a repetição dos índices j e k indica soma sobre eles, de acordo com a regra de Einstein.

Passo 4

Vamos expandir essa expressão para cada componente do vetor resultante. Isso significa calcular para i = 1, i = 2 e i = 3:
(A times B)1 &= epsilon1jk Aj Bk = epsilon123 A2 B3 + epsilon132 A3 B2 = A2 B3 - A3 B2 (A times B)2 &= epsilon2jk Aj Bk = epsilon213 A1 B3 + epsilon231 A3 B1 = A3 B1 - A1 B3 (A times B)3 &= epsilon3jk Aj Bk = epsilon312 A1 B2 + epsilon321 A2 B1 = A1 B2 - A2 B1

Passo 5

Juntando tudo, o produto vetorial A times B fica:
A times B = ( A2 B3 - A3 B2, A3 B1 - A1 B3, A1 B2 - A2 B1 )

Resposta

O produto vetorial de A e B é dado por
A times B = ( A2 B3 - A3 B2 ) i + ( A3 B1 - A1 B3 ) j + ( A1 B2 - A2 B1 ) k

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