Use o símbolo de Levi-Civita e suas propriedades para determinar o produto vetorial de dois vetores genéricos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre produto vetorial de dois vetores genéricos,
e
. A gente vai usar o símbolo de Levi-Civita, que ajuda a calcular determinantes e produtos vetoriais, junto com algumas propriedades dele. Pra isso, vamos precisar lembrar como funciona o Levi-Civita e como aplicá-lo no cálculo do produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o símbolo de Levi-Civita, geralmente representado por
. Ele é uma forma de indicar a direção e o sentido do produto vetorial no espaço tridimensional. Esse símbolo tem valor 1 se
for uma permutação par de (1,2,3), -1 se for uma permutação ímpar, e 0 se algum índice se repetir.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o produto vetorial usando o símbolo de Levi-Civita. Se temos dois vetores
e
, o produto vetorial
pode ser escrito usando o Levi-Civita assim:
Aqui, a repetição dos índices
e
indica soma sobre eles, de acordo com a regra de Einstein.
Passo 4
Vamos expandir essa expressão para cada componente do vetor resultante. Isso significa calcular para
,
e
:
Passo 5
Juntando tudo, o produto vetorial
fica:
Resposta
O produto vetorial de
e
é dado por