Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos calcular o determinante da matriz dada usando a expansão de cofatores. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente determinantes e a técnica de expansão de cofatores. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a expansão de cofatores e escolher a melhor linha ou coluna para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a matriz:
a & b & 0 0 & a & b a & 0 & b
Perceba que na terceira coluna temos um zero, o que é legal porque simplifica o cálculo. Então, vamos expandir o determinante pela terceira coluna.
Passo 3
A expansão de cofatores pela terceira coluna significa que vamos multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator correspondente e somar esses valores. A fórmula geral para o determinante usando cofatores pela coluna det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j aij cdot det(Mij) é:
Onde é o elemento da matriz e é a matriz menor removendo a linha e a coluna .
Passo 4
Aplicando isso à nossa terceira coluna:
Para a & b a & 0 : elemento é a & b 0 & a . Então, qualquer coisa será .
Para : elemento é . O cofator será
Para : elemento é . O cofator será
Passo 5
Vamos calcular os determinantes das matrizes menores:
a & b a & 0
a & b 0 & a
Passo 6
Agora, substituímos de volta na expansão:
det(A) = 0 + (-1) times b times (-a b) + 1 times b times a^2