Calcule os determinantes usando expansão de cofatores por qualquer linha ou coluna que pareça conveniente.
(e) |llla & b & 0 0 & a & b a & 0 & b|

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz dada usando a expansão de cofatores. A matéria aqui é Álgebra Linear, mais especificamente determinantes e a técnica de expansão de cofatores. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a expansão de cofatores e escolher a melhor linha ou coluna para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a matriz:
a & b & 0 0 & a & b a & 0 & b
Perceba que na terceira coluna temos um zero, o que é legal porque simplifica o cálculo. Então, vamos expandir o determinante pela terceira coluna.

Passo 3

A expansão de cofatores pela terceira coluna significa que vamos multiplicar cada elemento da coluna pelo seu cofator correspondente e somar esses valores. A fórmula geral para o determinante usando cofatores pela coluna det(A) = sumi=1^n (-1)^i+j aij cdot det(Mij) é:
Onde é o elemento da matriz e é a matriz menor removendo a linha e a coluna .

Passo 4

Aplicando isso à nossa terceira coluna:
  • Para a & b a & 0 : elemento é a & b 0 & a . Então, qualquer coisa será .
  • Para : elemento é . O cofator será
  • Para : elemento é . O cofator será

Passo 5

Vamos calcular os determinantes das matrizes menores:
  1. a & b a & 0
  2. a & b 0 & a

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expansão:
det(A) = 0 + (-1) times b times (-a b) + 1 times b times a^2
Simplificando:
det(A) = 0 + a b^2 + a^2 b = a b^2 + a^2 b

Resposta

O determinante da matriz é .

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(b) |ccc3 & 1 & 0 0 & -2 & 5 0 & 0 & 4|